Seja A um anel d-euclidiano. Prove que:

a) se a é um elemento não nulo de A, então d a ≥ d ( 1 ) ;

b) se a , b ∈ A * são associados, então d a = d b ;

c) um elemento não nulo a ∈ A é invertível se, e somente se, d a = d 1 .

Passo 1

Fala aiii meus lindos tudo blz? espero que sim

Então se liga só nessa questão do livro de álgebra moderna do Gerson Iezzi seja A um anel d-euclidiano. Prove que:

a) se a é um elemento não nulo de A, então d a ≥ d ( 1 ) ;

b) se a , b ∈ A * são associados, então d a = d b ;

c) um elemento não nulo a ∈ A é invertível se, e somente se, d a = d 1 .

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Então galera, antes de resolver as opções, precisamos saber que um anel d-euclidiano pode ser definido por,

N a + b m = | a 2 - m b 2 |

Ficando ´para letra (a),

d a ≥ d ( 1 )

Temos,

N 1 + m = | 1 2 - m 2 |

Ficando,

N 2 m = ( 1 - m 2 )

Logo,

2 m 2 = 1 - m 2

4 m = 1 - m 2

m 2 + m = - 4

m = 4 = 2

Já na letra (b) para definir se a , b ∈ A * é

d a = d ( b )

Temos,

d a = a , 0     e     d b = ( b , 0 )

Como a   e   b ∈ A * , temos

d a + b = { d a , d b }

E por fim na letra ( c ) para o elemento não nulo,

a ∈ A ≠ 0 ,   c o m   d a = d ( 1 )

Temos,

d A = { d a , d 1 }

Sendo sua definição não nula representada por,

d A = { a , 1 }

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

a) m = 2

b) d a + b = { d a , d b }

c) d A = { a , 1 }