Seja A um anel de integridade infinito. Se k é o corpo das frações de A, represente cada um dos polinômios de k [ x ] como o produto de um elemento de k por um polinômio primitivo sobre A:

a) 1 3 x 2 + 1 2 x + 6 ,     A = Z

b) 1 2 x 2 - 5 1 - i x + 2 ,     A = Z [ i ]

c) 1 4 x 2 + 1 2 x + 1 4 - 2 2 ,     A = Z [ 2 ]

Passo 1

Fala aiii meus lindos tudo blz? espero que sim

Então se liga só nessa questão do livro de álgebra moderna do Gerson Iezzi Seja A um anel de integridade infinito. Se k é o corpo das frações de A, represente cada um dos polinômios de k [ x ] como o produto de um elemento de k por um polinômio primitivo sobre A:

a) 1 3 x 2 + 1 2 x + 6 ,     A = Z

b) 1 2 x 2 - 5 1 - i x + 2 ,     A = Z [ i ]

c) 1 4 x 2 + 1 2 x + 1 4 - 2 2 ,     A = Z [ 2 ]

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Se liga só essa questão ele deseja determinar o produto k dos elementos de k por um polinômio primitivo em que,

Na letra (a) para,

1 3 x 2 + 1 2 x + 6 ,     A = Z

Aplicando a multiplicação do valor de fatoração vamos ter que

6 1 3 x 2 + 1 2 x + 6 ,     A = Z

Ficando a partir de sua fatoração que,

6 3 x 2 + 6 2 x + 36 → 2 x 2 + 3 x + 36

Sendo,

2 x 2 + 3 x + 36 ,     A = Z

Na letra (b) para,

1 2 x 2 - 5 1 - i x + 2 ,     A = Z [ i ]

Aplicando a multiplicação do valor de fatoração vamos ter que

2 1 - i x 2 - 5 x + 1 ,       A = Z [ i ]

Ficando,

[ x 2 - 5 1 + i x + 4 ]

E por fim na letra ( c ) para,

1 4 x 2 + 1 2 x + 1 4 - 2 2 ,     A = Z [ 2 ]

Temos que fatorando a definição vamos ter que,

4 - 2 2 - 2 2 x 2 + 2 - 1 2 x + 1

Ficando,

1 4 + 4 2 - 1 + 2 x 2 + - 2 + 2 2 x + 2  

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

a) 2 x 2 + 3 x + 36 ,     A = Z

b) [ x 2 - 5 1 + i x + 4 ]

c) 1 4 + 4 2 - 1 + 2 x 2 + - 2 + 2 2 x + 2