Seja A o anel dos inteiros de Gauss.

a) determine quais as seguintes relações são verdadeiras em A:

I 1 + i 2 ;   I I 2 + 3 i 5 - i ;   I I I 3 2 - i 3 + i ;       I V 3 - 2 i 26

b) mostre que U A = 1 , - 1 , i , - i .

c) mostre 1 + i ,   1 - i   e   3 são irredutíveis em A.

d) mostre que 2 é um elemento composto do anel A.

Passo 1

Falaaaa meus queridos tudo blz?

Nessa questão sabendo que A é o anel dos inteiros de Gauss, devemos determinar.

a) determine quais as seguintes relações são verdadeiras em A:

I 1 + i 2 ;   I I 2 + 3 i 5 - i ;   I I I 3 2 - i 3 + i ;       I V 3 - 2 i 26

b) mostre que U A = 1 , - 1 , i , - i .

c) mostre 1 + i ,   1 - i   e   3 são irredutíveis em A.

d) mostre que 2 é um elemento composto do anel A.

Fica de boa vamos resolver ela juntos blz?

Passo 2

Na letra (a) sabendo que A: I 1 + i 2 ;   I I 2 + 3 i 5 - i ;   I I I 3 2 - i 3 + i ;       I V 3 - 2 i 26

Vamos perceber que,

I é verdadeira

( I I ) verdadeira

I I I falsa

( I V ) verdadeira

Na letra (b) para mostrarmos que U A = 1 , - 1 , i , - i

α = a + b , sendo N α = a 2 + 2 b = 1

U A = 1 , - i

Passo 3

Na letra ( c ) para mostrarmos que 1 + i ,   1 - i   e   3 são irredutíveis em A,

N 1 + i = N 1 - i = N ( 3 )

N 1 + i = 1

N 1 - i = 1

N 3 = 1

E por fim na letra (d) para demonstrar que 2 é um elemento composto no anel A basta dizer que,

N α = a 2 + b 2 = 2 , ficando a e b igual a ± 2

Bem curtinha né? Espero ter ajudado até a próxima.

Resposta

a) I é verdadeira

( I I ) verdadeira

I I I falsa

( I V ) verdadeira

b) U A = 1 , - i

c) N 3 = 1

d) ± 2