Seja A um anel com as operações +   e   . Mostre que:

a) A   x   Z é um anel em relação as operações ⊕ e ⊙ assim definidas:

a , m ⊕ b , n = ( a + b , m + n )

a , m ⊙ b , n = ( a b + m b + n a , m n )

b) A   x   { 0 } é um ideal em A   x   Z .

c) A aplicação f : A → A   x   { 0 } tal que f x = ( x , 0 ) é um isomorfismo.

Passo 1

Fala aiii meus lindos tudo blz? espero que sim

Então se liga só nessa questão do livro de álgebra moderna do Gerson Iezzi seja A um anel com as operações +   e   . Mostre que:

a) A   x   Z é um anel em relação as operações ⊕ e ⊙ assim definidas:

a , m ⊕ b , n = ( a + b , m + n )

a , m ⊙ b , n = ( a b + m b + n a , m n )

b) A   x   { 0 } é um ideal em A   x   Z .

c) A aplicação f : A → A   x   { 0 } tal que f x = ( x , 0 ) é um isomorfismo.

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Na letra (a) sabendo que as relações ⊕ e ⊙ são definidas como,

a , m ⊕ b , n = ( a + b , m + n )

a , m ⊙ b , n = ( a b + m b + n a , m n )

Vamos ter que,

a b + m b + n a ∈ { 0 }

Na letra (b) sendo,

A   x   { 0 } um ideal em A   x   Z , vamos ter que,

A   x   0 = I

Ficando,

a b ∈ 2 Z

E por fim na letra ( c ) dada a aplicação

f : A → A   x   { 0 } tal que f x = ( x , 0 )

Para dizer que é um automorfismo temos que,

f x = x , 0 → x , 0 ∈ A

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

a) a b + m b + n a ∈ { 0 }

b) a b ∈ 2 Z

c) x , 0 ∈ A