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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Algebra Moderna - Hygino H. Domingues e Gelson Iezzi- Ed: 4º - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 147

Seja A um anel. Se L é um subconjunto não vazio de A, definem-se L + L ,   L . L     e - L da seguinte maneira:

L + L = x + y x , y ∈ L , L . L = x y x , y ∈ L ,   - L = { - x | x ∈ L }

Isso posto, seja A um anel de integridade. Demostre que uma condição necessária e suficiente para que se possa definir uma relação de ordem sobre A, compatível com as operações desse anel, é que exista um subconjunto não vazio P ⊂ A tal que: i   P + P ⊂ P ; i i   P . P ⊂ P ; i i i   P ∪ - P = A ; i v   P ∩ - P = 0 A .

Passo 1

Fala aiii meus lindos tudo blz? espero que sim

Então se liga só nessa questão do livro de álgebra moderna do Gerson Iezzi seja A um anel. Se L é um subconjunto não vazio de A, definem-se L + L ,   L . L     e - L da seguinte maneira:

L + L = x + y x , y ∈ L , L . L = x y x , y ∈ L ,   - L = { - x | x ∈ L }

Isso posto, seja A um anel de integridade. Demostre que uma condição necessária e suficiente para que se possa definir uma relação de ordem sobre A, compatível com as operações desse anel, é que exista um subconjunto não vazio P ⊂ A tal que: i   P + P ⊂ P ; i i   P . P ⊂ P ; i i i   P ∪ - P = A ; i v   P ∩ - P = 0 A .

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Sabendo que

L + L = x + y x , y ∈ L , L . L = x y x , y ∈ L ,   - L = { - x | x ∈ L }

Temos que para,

i   P + P ⊂ P

i i   P . P ⊂ P

i i i   P ∪ - P = A

i v   P ∩ - P = 0 A

Para,

x ≤ y     s e   y - x ∈ P

Ficando,

P ≠ A

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

P ≠ A