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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo Exercícios Adicionais.2 - Ex. 56

Seja B   =   ( f 1 → , f 2 → , f 3 → ) uma base de V. Sejam os vetores g 1 →   = f 1 → + f 2 → , g 2 → = f 1 → + f 2 → - f 3 → e g 3 → = f 2 → + f 3 → .

  1. Demonstre que C = ( g 1 → , g 2 → , g 3 → )   é uma base de V.
  2. Dado u →   =   ( 2,1 , 0 ) B , determine as coordenadas de u → na base C .
  3. Dado v →   =   ( 1 , - 1,5 ) C , determine as coordenadas de v → na base B .

Passo 1

  1. Tudo bem, pessoal? Neste item só precisamos verificar que g 1 → , g 2 → , g 3 → são l.i. Se sim, então eles formam uma base de V. E para verificar a independência linear, só precisamos calcular o determinante dos três vetores. Mas antes, vamos reescrever os vetores na base B :

    2. g 1 →   = f 1 → + f 2 → = ( 1,1 , 0 ) B ,

    g 2 → = f 1 → + f 2 → - f 3 → = ( 1,1 , - 1 ) B e

    g 3 → = f 2 → + f 3 → = ( 0,1 , 1 ) B .

    Então, o determinante será

    ⎜   1                 1                   0   ⎜

    ⎜   1                 1   -   1 ⎜ = 1 ⋅ ( 1 + 1 ) - 1 ⋅ ( 1 - 0 ) + 0 ⋅ ( 1 - 0 ) = 1 ≠ 0

    ⎜   0                 1                   1   ⎜

    Assim, C = ( g 1 → , g 2 → , g 3 → )   é uma base de V.

    Passo 2

  2. Primeiro, temos que reescrever

    3. u →   =   ( 2,1 , 0 ) B = 2 f 1 → + f 2 →

    Agora, temos que tentar conseguir uma combinação linear de g 1 →   = f 1 → + f 2 → , g 2 → = f 1 → + f 2 → - f 3 → e g 3 → = f 2 → + f 3 → que gere u →   :

    u →   = a g 1 → + b g 2 → + c g 3 → = a ( f 1 → + f 2 → ) + b ( f 1 → + f 2 → - f 3 → ) + c ( f 2 → + f 3 → )

    u →   = ( a + b ) f 1 → + ( a + b + c ) f 2 → + ( c - b ) f 3 →

    As duas expressões para u → devem ser iguais, ou seja,

    2 f 1 → + f 2 → = ( a + b ) f 1 → + ( a + b + c ) f 2 → + ( c - b ) f 3 →

    Com isso, dá pra gente obter um sistema de equações

    a + b = 2

    a + b + c = 1

    c - b = 0 ⇒ c = b

    Vamos substituir c = b na segunda equação:

    a + b = 2

    a + b + c = 1 ⇒ a + 2 b = 1

    Assim, restam duas equações:

    a + b = 2

    a + 2 b = 1

    Agora, vamos subtrair a primeira equação da segunda:

    a + 2 b - a - b = 1 - 2 ⇒ b = - 1 ⇒ c = - 1

    Para determinar a , basta substituir b = - 1 na primeira equação:

    a + b = 2 ⇒ a - 1 = 2 ⇒ a = 3

    Prontinho! Agora só temos que substituir a = 3 e b = c = - 1 em

    u →   = a g 1 → + b g 2 → + c g 3 → = 3 g 1 → - g 2 → - g 3 → = ( 3 , - 1 , - 1 ) C

    Passo 2

  3. Nesse item, vamos passar da base C para a base B . Temos

v →   =   ( 1 , - 1,5 ) C = g 1 → - g 2 → + 5 g 3 → = ( f 1 → + f 2 → ) - ( f 1 → + f 2 → - f 3 → ) + 5 ( f 2 → + f 3 → )

v →   =   5 f 2 → + 6 f 3 →

A expressão acima já nos dá o vetor na base B :

v →   =   5 f 2 → + 6 f 3 → = ( 0,5 , 6 ) B

Resposta

b) u →   = ( 3 , - 1 , - 1 ) C

c) v →   = ( 0,5 , 6 ) B