Seja

A =       1 2 - 1 3       1 3     0     2 - 1 2     1     3

Em cada item, determine se x é uma solução para o sistema homogêneo Ax = 0.

a )   x = 5 - 3 5 2

b )   x = 1 2 3 4

c )   x = 1 - 3 5 1 2 5

d )   x = 1 0 0 - 1

Passo 1

E aí pessoal, belezinha. Vamos agora trabalhar em algumas questões de sistemas lineares.

Item a

Montando o sistema, na forma matricial, teremos:

A x = 0 = >       1 2 - 1 3       1 3     0     2 - 1 2     1     3 x y z w = 0 0 0

Resolvendo para encontrar o sistema de equações (Caso a visualização nessa forma, para posterior resolusão seja preferida):

x + 2 y - z + 3 w = 0 x + 3 y             + 2 w = 0 - x + 2 y + z + 3 w = 0

Para determinar se x (ou apenas verificar) é solução do sistema, sendo x dado no enunciado, basta que os valores fornecidos sejam substituídos no lado esquerdo das equações, e que sua resolução dê os valores do lado direito das equações. Como assim?

Na primeira equação teremos:

x + 2 y - z + 3 w = 5 + 2 ∙ - 3 - 5 + 3 ∙ 2 = 0

Na segunda equação:

x + 3 y + 2 w = 5 + 3 ∙ - 3 + 2 ∙ 2 = 0

Na terceira equação:

- x + 2 y + z + 3 w = - 5 + 2 ∙ - 3 + 5 + 3 ∙ 2 = 0

Como as três equações foram satisfeitas, x é solução do sistema linear homogêneo.

Passo 2

Item b

Usando o que fora feito no primeiro item do exercício, vamos testar a possível solução dada.

Na primeira equação teremos:

x + 2 y - z + 3 w = 1 + 2 ∙ 2 - 3 + 3 ∙ 4 = 14 ≠ 0

Como uma das equações não é satisfeita, x não é solução do sistema linear homogêneo (E não precisamos verificar nas demais equações).

Passo 3

Item c

Na primeira equação teremos:

x + 2 y - z + 3 w = 1 + 2 ∙ - 3 5 - 1 + 3 ∙ 2 5 = 0

Na segunda equação:

x + 3 y + 2 w = 1 + 3 ∙ - 3 5 + 2 ∙ 2 5 = 0

Na terceira equação:

- x + 2 y + z + 3 w = - 1 + 2 ∙ - 3 5 + 1 + 3 ∙ 2 5 = 0

Como as três equações foram satisfeitas, x é solução do sistema linear homogêneo.

Passo 4

Item d

Na primeira equação teremos:

x + 2 y - z + 3 w = 1 + 2 ∙ 0 - 0 + 3 ∙ - 1 = - 2 ≠ 0

Como uma das equações não é satisfeita, x não é solução do sistema linear homogêneo (E não precisamos verificar nas demais equações).

Resposta

Ver passo a passo.