Seja E um conjunto finito com n elementos.
Quantas são as relações binárias sobre E?
Quantas dessas relações são reflexivas:
Sugestão: use o fato de que uma relação R sobre E é reflexiva se, e somente se, , em que e R’ é um subconjunto de .
Quantas dessas relações são simétricas?
Sugestão: use o fato de que uma relação R sobre é simétrica se, e somente se, , em que S é um subconjunto de constituido por pares da forma , com .
Passo 1
Fala minha galera, esses exercícios complementares são pedrada forte, bora com muita calma que vai dar tudo certo!
possui relações binárias, então por definição, o número de relações binária em .
Passo 2
Vamos usar a sugestão, temos que uma relação só é reflexiva quando seus pares são iguais, isto é, se temos um . Para que tenhamos uma relação reflexiva R, R deve ser , com R’ sendo as relações binárias de E menos nosso delta que carrega as reflexivas. Dessa forma temos relações reflexivas, pois existem n números no conjunto E.
Passo 3
Para encontrarmos o número para relação simétrica, devemos notar que o número de relações simétricas é par, temos 2 escolhas de par e os elementos definidos com a relação simétrica são os que sobraram do , então temos:
Dessa forma, temos que o número de relações reflexivas são
Resposta
relações binárias, reflexivas e relações simétricas.