Seja E um conjunto não vazio. Dados X , Y ∈ P ( E ) , mostre que as relações R e S abaixo definidas abaixo definidas são de equivalência em P E :

  1. X R Y se, e somente se, X ∩ A = Y ∩ A .
  2. X S Y se, e somente se, X ∪ A = Y ∪ A em que A é um subconjunto fixado de E.

Passo 1

Fala galera, exercício complementar é dureza, mas vamos tirar de letra, vem comigo.

  1. Pessoal vamos lá, precisamos relembrar da definição, se X R Y implica que pela reflexão, X = { Y } .
  2. Portanto, se temos X ∩ A e o conjunto X é igual ao conjunto Y, então intersecção de Y com A são iguais, X ∩ A = Y ∩ A .

    Passo 2

  3. Relembrando da propriedade da reflexão, como X S Y ⇒ X = { Y } . Sendo A um subconjunto fixado em A, isto é, que ele não se altera para que a união não possa ser diferente, então X ∪ A = Y ∪ A , pois o conjunto X e o conjunto Y são iguais.

Resposta

Demonstração.