Seja C o conjunto dos números complexos e sejam x = a + bi e y = c + di dois elementos de C. Considere a relação S sobre C definida por:

x S y   s e ,   e   s o m e n t e   s e ,   a <   c   o u   ( a = c   e   b ≤ d )  

  1. Mostre que S é uma relação de ordem parcial sobre C.
  2. Assinale no plano Argand-Gauss o conjunto A dos complexos z tais que zS(1 - 2i) e o conjunto B dos complexos z tais que (1 + 2i)Sz.
  3. Decida: C é totalmente ordenado por S?

Passo 1

Fala minha galera, bora fazer mais um exercício maravilhoso da matemática discreta!

  1. Dessa vez precisamos saber se ela é reflexiva, antissimétrica e transitiva para que a relação seja de ordem parcial, então bora lá!
  2. Já podemos concluir de cara que a relação é reflexiva pois dado x ,   y ∈ C com x e y tal como descrito no enunciado, então:

    x S x ,   p o i s   a = a   e   b ≤ b

    Supondo agora que x S y então y S x , temos que as seguintes relações são válidas:

    a < c   o u   ( a = c   e   b ≤ d )   d e   x S y

    c < a   o u   ( c = a   e   d ≤ b )   d e   y S x

    Mas isso só pode existir se ( a = c   e   b ≤ d ) e ( c = a   e   d ≤ b ) , logo ela é antissimétrica, pois x = y somente em um caso.

    E a transitividade é atestada com o um y S z tal que z = f + g i ∈ C , assim:

      a < c   o u   ( a = c   e   b ≤ d ) ,   p a r a   x S y

    c < f   o u   c = f   e   d ≤ g ,   p a r a   y S z

    Dessa forma, a = f e, analogamente, b ≤ g , implicando que x S z . Dessa forma concluímos que a relação é de ordem parcial.

    Passo 2

  3. Vamos nessa fazer uma figura utilizando o Geogebra! Como temos pela definição dada no problema, tendo z ∈ A tal que z = w + h i , então w ≤ 1 e h ≤ 2 para o primeiro caso e para o segundo caso 1 ≤ w e 2 ≤ h . Agora vamos plotar as figuras sendo o conjunto dos vetores com origem e (0,0), A = < x , y > ∈ C x ≤ 1   e   y ≤ - 2 e o conjunto B = < x , y > ∈ C 1 ≤ x   e   2 ≤ y .
  4. Em A:Em B:

    Passo 3

  5. Vamos supor por absurdo que não existem as relações xSy e ySx. Para que C seja totalmente ordenado por S, não pode ocorrer a x S y ou y S x , visto isso temos três hipóteses para a = c:
  • b = d
  • b < d
  • b > d

Se b = d ou b d então teríamos ySx, que também é um absurdo, pois y não se relaciona com x.

Como sempre chegamos em um absurdo, não existe nenhum x e y complexos tal que a relação não exista, então C é totalmente ordenada por S.

Resposta

  1. Demonstração
  2. Totalmente ordenado.