Seja C o conjunto dos números complexos e sejam x = a + bi e y = c + di dois elementos de C. Considere a relação S sobre C definida por:
- Mostre que S é uma relação de ordem parcial sobre C.
- Assinale no plano Argand-Gauss o conjunto A dos complexos z tais que zS(1 - 2i) e o conjunto B dos complexos z tais que (1 + 2i)Sz.
- Decida: C é totalmente ordenado por S?
Passo 1
Fala minha galera, bora fazer mais um exercício maravilhoso da matemática discreta!
- Dessa vez precisamos saber se ela é reflexiva, antissimétrica e transitiva para que a relação seja de ordem parcial, então bora lá!
- Vamos nessa fazer uma figura utilizando o Geogebra! Como temos pela definição dada no problema, tendo tal que , então e para o primeiro caso e para o segundo caso e . Agora vamos plotar as figuras sendo o conjunto dos vetores com origem e (0,0), e o conjunto .
- Vamos supor por absurdo que não existem as relações xSy e ySx. Para que seja totalmente ordenado por S, não pode ocorrer a
x S y ou , visto isso temos três hipóteses para a = c:
Já podemos concluir de cara que a relação é reflexiva pois dado com x e y tal como descrito no enunciado, então:
Supondo agora que então , temos que as seguintes relações são válidas:
Mas isso só pode existir se e , logo ela é antissimétrica, pois x = y somente em um caso.
E a transitividade é atestada com o um tal que , assim:
Dessa forma, e, analogamente, , implicando que . Dessa forma concluímos que a relação é de ordem parcial.
Passo 2
Em A:Em B:

Passo 3
Se ou b d então teríamos ySx, que também é um absurdo, pois y não se relaciona com x.
Como sempre chegamos em um absurdo, não existe nenhum x e y complexos tal que a relação não exista, então é totalmente ordenada por S.
Resposta
- Demonstração

- Totalmente ordenado.