Seja C o conjunto dos pontos do plano que satisfazem a equação

a x 2 + b x y + c y 2 + d x + e y + f = 0 .

com a , b , c , d , e , f ∈ R , sendo a , b   e   c não simultaneamente nulos. Consideremos a matriz

Sejam λ e µ os autovalores de A.

b) Mostre que se b 2 - 4 a c < 0 , então C e uma elipse, um ponto ou o conjunto vazio.

Passo 1

Fala aiii meus lindos tudo blz? espero que sim

Então se liga só nessa questão do livro de álgebra linear do Reginaldo Santos seja C o conjunto dos pontos do plano que satisfazem a equação

a x 2 + b x y + c y 2 + d x + e y + f = 0 .

com a , b , c , d , e , f ∈ R , sendo a , b   e   c não simultaneamente nulos. Consideremos a matriz

Sejam λ e µ os autovalores de A.

b) Mostre que se b 2 - 4 a c < 0 , então C e uma elipse, um ponto ou o conjunto vazio.

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Dada a equação,

a x 2 + b x y + c y 2 + d x + e y + f = 0 , a , b , c , d , e , f ∈ R e a , b   e   c não simultaneamente nulo e considerando a matriz,

A = a b 2 b 2 c

Temos que para mostrar,

b 2 - 4 a c < 0 , sendo C uma elipse de um ponto ou conjunto vazio devemos saber que para,

b 2 - 4 a c < 0 → d i s t p , f + d i s t p , f 2 = 2 a

Logo,

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1