Seja C o conjunto dos pontos do plano que satisfazem a equação

a x 2 + b x y + c y 2 + d x + e y + f = 0

com a , b , c , d , e , f ∈ R sendo a , b e c não simultaneamente nulos. Consideremos a matriz

⎜         a                 b / 2     ⎜

⎜   b / 2                   c         ⎜

Sejam λ e μ os autovalores de A .

(a) Mostre que λ μ = a c - b 2 / 4 .

Passo 1

Tudo bem, gente? Que bom, então bora lá!

Para começar, vamos calcular o polinômio característico da matriz:

d e t   ⎜   a - t                   b / 2           ⎜ = ( a - t ) ( c - t ) - b 2 / 4 = 0

                ⎜         b / 2                 c - t       ⎜

Os autovalores λ e μ são as soluções da equação

( a - t ) ( c - t ) - b 2 / 4 = 0

⇒ t 2 - ( a + c ) t + a c - b 2 / 4 = 0

⇒ t = a   +   c   ±   ( a + c ) 2 -   4   ⋅   1   ⋅   ( a c - b 2 / 4 ) 2

⇒ t = a   +   c   ±   ( a - c ) 2 + b 2 2

Passo 2

No passo anterior, nós conseguimos duas soluções do polinômio característico, que são os autovalores

λ = a   +   c   +   ( a - c ) 2 + b 2 2 ,   μ = a + c - ( a - c ) 2 + b 2 2

Agora, vamos multiplicar os dois autovalores. Vai ficar um pouco feio, mas confia que sai:

λ μ = ( a + c ) 2 4 + ( a + c ) ( a - c ) 2 + b 2 2 - ( a + c ) ( a   -   c ) 2 +   b 2 2 - ( a   -   c ) 2 +   b 2 2 2

λ μ = ( a   +   c ) 2 4 - ( a   -   c ) 2 +   b 2 4 = -   b 2 +   4 a c 4 = a c - b 2 / 4

⇒ λ μ = a c - b 2 / 4

Resposta

Veja a resolução acima.