Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Algebra Moderna - Hygino H. Domingues e Gelson Iezzi- Ed: 4º - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 24
Seja E o conjunto das retas de um plano α. Quais das relações abaixo definidas são relações de equivalência em E?
a) xRy se, e somente se,
b) xSy se, e somente se, x ⊥ y
Passo 1
Fala minha galera, bora fazer mais um exercício maravilhoso da matemática discreta!
Para que uma relação seja de equivalência, ela deve ser ao mesmo tempo reflexiva, simétrica e transitiva. Visto isso, vamos provar cada uma das propriedades para cada alternativa.
- Se x é paralelo a y, então ela é uma relação de equivalência:
- Ela é reflexiva, pois uma reta paralela é paralela a ela mesma.
- Se as duas retas são paralelas, elas possuem o mesmo coeficiente angular, isto é, , ela é simétrica também.
- Tomando , com e , isso implica que x é paralelo a z, pois todos têm o mesmo coeficiente angular. Desta forma ela é transitiva.
Como a proposição atende as 3 relações de equivalência, então ela é uma relação de equivalência!
Passo 2
Resposta
- É uma relação de equivalência.
- Não é uma relação de equivalência.