Enunciado

Seja E o conjunto das retas de um plano α. Quais das relações abaixo definidas são relações de equivalência em E?

a) xRy se, e somente se, x ∥ y

b) xSy se, e somente se, x ⊥ y

Passo 1

Fala minha galera, bora fazer mais um exercício maravilhoso da matemática discreta!

Para que uma relação seja de equivalência, ela deve ser ao mesmo tempo reflexiva, simétrica e transitiva. Visto isso, vamos provar cada uma das propriedades para cada alternativa.

  1. Se x é paralelo a y, então ela é uma relação de equivalência:
  • Ela é reflexiva, pois uma reta paralela é paralela a ela mesma.
  • Se as duas retas são paralelas, elas possuem o mesmo coeficiente angular, isto é, y ∥ x , ela é simétrica também.
  • Tomando x , y ,   z ∈ E , com x ∥ y e y ∥ z , isso implica que x é paralelo a z, pois todos têm o mesmo coeficiente angular. Desta forma ela é transitiva.

Como a proposição atende as 3 relações de equivalência, então ela é uma relação de equivalência!

Passo 2

  • Já de cara sabemos que ela não é reflexiva, pois uma reta não pode interceptar a si mesma de modo a formar um ângulo de 90°, portanto, como não atende essa condição, a proposição não é uma relação de equivalência.
  • Resposta

    1. É uma relação de equivalência.
    2. Não é uma relação de equivalência.