Seja E o conjunto dos triângulos do espaço geométrico euclidiano. Seja R a relação em E definida por:
xRy se, e somente se, x é semelhante a y.
Prove que R é de equivalência.
Passo 1
Fala minha galera, bora fazer mais um exercício maravilhoso da matemática discreta!
Para que uma relação seja de equivalência, ela deve ser ao mesmo tempo reflexiva, simétrica e transitiva. Visto isso, vamos provar cada uma das propriedades, nem precisamos provar que ela é reflexiva, porque por definição, todo triângulo é semelhante a ele mesmo, dessa forma está provada que é reflexiva.
Passo 2
Vamos provar a simetria.
Seja dois triângulos pertencentes ao conjunto E com os ângulos , de modo que sejam semelhantes, ou seja, os ângulos internos são iguais:
Então os triângulos são simétricos.
Passo 3
E por último vamos provar a transitividade.
Seja três triângulos pertencentes ao conjunto E com os ângulos , de modo que o triângulo 1 é semelhante ao triângulo 2 e o triângulo 2 é semelhante ao triângulo 3, ou seja, os ângulos internos são iguais:
e
O que implica que , ou seja, o triângulo 1 e o triângulo 3 são semelhantes e o conjunto possui a propriedade de transitividade.
Resposta
Demonstração