Seja E o conjunto dos triângulos do espaço geométrico euclidiano. Seja R a relação em E definida por:

xRy se, e somente se, x é semelhante a y.

Prove que R é de equivalência.

Passo 1

Fala minha galera, bora fazer mais um exercício maravilhoso da matemática discreta!

Para que uma relação seja de equivalência, ela deve ser ao mesmo tempo reflexiva, simétrica e transitiva. Visto isso, vamos provar cada uma das propriedades, nem precisamos provar que ela é reflexiva, porque por definição, todo triângulo é semelhante a ele mesmo, dessa forma está provada que é reflexiva.

Passo 2

Vamos provar a simetria.

Seja Δ 1   e   Δ 2 dois triângulos pertencentes ao conjunto E com os ângulos α ,   β ,   γ , de modo que sejam semelhantes, ou seja, os ângulos internos são iguais:

α 1 = α 2 ; β 1 = β 2 ; γ 1 = γ 2

Então os triângulos são simétricos.

Passo 3

E por último vamos provar a transitividade.

Seja Δ 1 ,   Δ 2   e   Δ 3 três triângulos pertencentes ao conjunto E com os ângulos α ,   β ,   γ , de modo que o triângulo 1 é semelhante ao triângulo 2 e o triângulo 2 é semelhante ao triângulo 3, ou seja, os ângulos internos são iguais:

α 1 = α 2 ; β 1 = β 2 ; γ 1 = γ 2 e α 2 = α 3 ; β 2 = β 3 ; γ 2 = γ 3

O que implica que α 1 = α 3 ; β 1 = β 3 ; γ 1 = γ 3 , ou seja, o triângulo 1 e o triângulo 3 são semelhantes e o conjunto possui a propriedade de transitividade.

Resposta

Demonstração