Seja E = {1, 2, 3}. Considerem-se as seguintes relações em E:

R1 = {(1, 1),(2, 2),(3, 3)}

R2 = {(1, 1),(1, 2),(1, 3),(2, 2),(2, 3),(3, 3)}

R3 = {(1, 2),(1, 3),(2, 1),(2, 3),(3, 1),(3, 2),(3, 3)}

R4 = E×E

R5 = ∅

Quais são reflexivas? E simétricas? E transitivas? E antissimétricas?

Passo 1

Fala minha galera, bora extrair o máximo dos nossos pensamentos com esse exercício de algelin!

Vamos no passou a passo, começando por R 1 ,

A primeira relação apresenta todas as propriedades, veja só:

Ela é reflexiva o que está bem na cara;

Ela é simétrica pois a R b = b R a ;

Ela é transitiva pois a R a ,   b R b   e   c R c ;

Ela é antissimétrica pois a = a ,   b = b   e   c = c .

Passo 2

R 2 é reflexiva, transitiva e antissimétrica, veja;

Ela é reflexiva pois possui (1,1), (2,2) e (3,3);

Ela não é simétrica pois a R b ≠ b R a ;

Ela é transitiva pois 1 R 2   e   2 R 3   e n t ã o   1 R 3 ;

Ela é antissimétrica pois a = a ,   b = b   e   c = c .

Passo 3

R 3 é simétrica, veja;

Ela não é reflexiva pois não possui (1,1), (2,2) e (3,3);

Ela é simétrica pois a R b = b R a ;

Ela não é transitiva pois devido ao (3,3);

Ela não é antissimétrica pois a ≠ a   b ≠ b   e   c ≠ c .

Passo 4

R 4 é reflexiva, simétrica e transitiva, veja;

Ela é reflexiva pois possui (1,1), (2,2) e (3,3);

Ela é simétrica pois a R b = b R a ;

Ela é transitiva pois 1 R 2   e   2 R 3   e n t ã o   1 R 3 ;

Ela não é antissimétrica pois a ≠ b .

Passo 5

R 5 é simétrica, transitiva e antissimétrica, veja;

Ela não é reflexiva pois não possui (1,1), (2,2) e (3,3);

Ela é simétrica pois não existe elemento;

Ela é transitiva pois não existe elemento;

Ela é antissimétrica pois não existe elemento.

Resposta

Reflexiva:   R 1 ,   R 2   e   R 4 ;

Simétricas: R 1 , R 3 , R 4   e   R 5 ;

Transitivas: R 1 ,   R 2 ,   R 4   e   R 5 ;

Antissimetricas: R 1 ,   R 2   e   R 5 .