Seja f : R 2 → R dada por f x , y = x y .

  1. f é injetora?
  2. f é sobrejetora?
  3. Determine f - 1 0 .
  4. Determine f 0,1 × 0,2 .
  5. Determine f x , y x = y .

Passo 1

Fala galera, bora começar esse exercício de matemática discreta!

  1. Sabemos que a função é injetora quando elementos diferentes quaisquer do conjunto tem imagens diferentes, então essa função não é injetora. Por exemplo, (1,4), (4,1) e (2,2) tem a mesma imagem, {4}, o que faz dela não ser injetora.
  2. Passo 2

  3. A função é sobrejetora quando a imagem da função é todo o domínio, no caso o domínio são os reais. Portanto, como a função não apresenta nenhuma limitação que retire a sua continuidade, ela é sobrejetora.
  4. Passo 3

  5. Vamos reescrever para entender o que a função inversa quer nos dizer.
  6. f - 1 0 ⇒ f x , y = x ⋅ y

    0 = x ⋅ y

    E concluímos que o produto xy só vai ser 0 se x for 0 ou y for 0, isto é:

    x , y x = 0   o u   y = 0

    Passo 4

  7. Vamos relembrar o produto cartesiano entre dois pares ordenados,
  8. A × B = x , y x ∈ A   e   y ∈ B

    Então temos A = [ 0,1 ] e B = [ 0,2 ] e o produto cartesiano entre eles vai ser [ 0,2 ] .

    Passo 5

  9. Caso x seja igual a y, então nossa função fica f x , y = x 2 ou y 2 . Nesse caso, o domínio será dado apenas por números positivos, mas ainda sim por todos os números reais. Portanto, f x , y x = y = R + .

Resposta

  1. Não.
  2. Sim.
  3. x , y x = 0   o u   y = 0 .
  4. 0,2 .
  5. R + .