Seja f : N × N → N dada pela lei f x , y = m d c ( x , y ) .

  1. Determine: f 2,3 , f ( 0,5 ) e f ( 24,36 ) .
  2. f é injetora?
  3. f é sobrejetora?

Passo 1

Fala galera, bora começar esse exercício de matemática discreta!

  1. Esse exercício é super simples, só precisamos encontrar o máximo divisor comum do par ordenado dado em cada função, bora começar!
  • f 2,3 = m d c 2,3 = 1 ;
  • f 0,5 = m d c 0,5 = 5 ;
  • f 24,36 = m d c 24,36 = 12 .

E está pronta nossa resposta! Seguimos.

Passo 2

  • Para que uma função seja injetora, a função não pode apresentar imagens iguais para diferentes elementos. Podemos concluir então que a função não é injetora, pois com um simples exemplo concluímos que temos o mesmo mdc para diferentes números:
    • f 2,3 = m d c 2,3 = 1 ;
    • f 5,4 = m d c 5,4 = 1 .

    Portanto, f 2,3 = f ( 5,4 ) o que mostra que a função não é injetora.

    Passo 3

  • Para a função ser sobrejetora, todos os elementos do conjunto aplicado têm que ser preenchidos, dessa forma, como existem infinitos mdc, todo o conjunto dos números naturais, N , é preenchido. A função é sobrejetora.
  • Resposta

    1. f 2,3 = 1 ; f 0,5 = 5 ; f 24,36 = 12 .
    2. Não é injetora.
    3. É sobrejetora.