Seja f : N^* xx N -> N dada pela lei f (x , y) = x^y :

Determine:

  1. f ( 0,2 ) d) f^(- 1) ({ 16 }) g) f (1 , alpha) , alpha in N
  2. f (3,0) e) f^(- 1) ({625}) h) f^(- 1) ({p}) , p p r i m o
  3. f ( 3,4 ) f) f^(- 1) ({ 1 }) i) f^(- 1) ({ 0 })

Passo 1

Fala galera, bora começar esse exercício de matemática discreta!

Nesse exercício super tranquilo só definir a função a partir dos elementos da função e obter as respostas:

  1. f (0,2) = 0^2 = 0 ;
  2. f (3,0) = 3^0 = 1 ;
  3. f (3,4) = 3^4 = 81 ;
  4. Agora precisamos analisar ao contrário, pois é a função inversa, então:

  5. f^(- 1) (16) = {x , y in N,x^y = 16} = {(2,4) , (4,2) , (16,1)} ;
  6. f^(- 1) (625) = {x , y in N,x^y = 625} = {(5 , 4) , (25 , 2) , (625 , 1)} ;
  7. f^(- 1) (1) = {x , y in N,x^y = 1} = {(1 , y),y in N} uu {(x , 0),x in N} , pois 1 elevado a qualquer número é 1 e qualquer número elevado a 0 é 1;
  8. Voltamos para uma função normal:

  9. f (1 , alpha) = 1^(alpha) = 1 , 1 elevado a qualquer número é 1, como afirmado no item anterior;
  10. Voltando paras as duas últimas inversas:

  11. f^(- 1) ({p}) = {x , y in N,x^y = p} = {(p , 1)} , para que p seja primo ele só pode ser divisível por 1 e por ele mesmo, dessa forma p só pode ser elevado a 1 para ser ele mesmo.
  12. f^(- 1) ({ 0 }) = {x , y in N,x^y = 0} = {(0 , y),y in N^*} , o elevado a qualquer número, com exceção do 0, e 0.

E está prontinha a resposta! Viu como foi tranquilo?! Bora pro próximo.

Resposta

0 ; 1 ; 81 ; {(2,4) , (4,2) , (16,1)} ; {(5,4) , (25,2) , (625,1)} ; {(1 , y),y in N} uu {(x , 0),x in N} ; 1 ; {(p , 1)} ; e {(0 , y),y in N^*} , respectivamente.