Seja f : R -> R dada pela lei:

f (x) = {[[x^2 , s e x <= 0],[root(3)(x) , s e x > 0]])

Determine:

  1. f ( [ - 1,8 ] ) c) f (R_+) e) f^(- 1) ([ - 1 , 16 ])
  2. f (R_-) d) f^(- 1) ([ 1 , 16 ]) f) f^(- 1) (R_-^*)

Passo 1

Fala galera, bora começar esse exercício de matemática discreta!

Nesse exercício super tranquilo só definir a função a partir dos elementos da função e obter as respostas:

  1. f ([ - 1,8 ]) = {root(3)(x),0 <= x <= root(3)(8)} = [ 0,2 ] ;
  2. f (R_-) = (R_-)^2 = R_+ ;
  3. f (R_+) = root(3)(R_+) = R_+ ;
  4. Agora precisamos analisar ao contrário, pois é a função inversa, então:

  5. f^(- 1) ([ 1 , 16 ]) = {x in R,1 <= root(3)(x) <= 16 e 1 <= x^2 <= 16} = [- 1,1 - 4,2 root(3)(2)] , sendo os negativos para x^2 e os positivos para o raiz cubica;
  6. f^(- 1) ([ - 1,16 ]) = {x in R,root(3)(x) >= 16 e x^2 <= 16} = [- 4 , 2 root(3)(2)] ;
  7. f^(- 1) (R_-^*) = {x in R,x = O/} = O/ , pois não existe condição para esse elemento.

E está prontinha a resposta! Viu como foi tranquilo?! Bora pro próximo.

Resposta

[0,2] ; R_+ ; R_+ ; [- 1,1 - 4,2 root(3)(2)] ; [- 4,2 root(3)(2)] e O/ respectivamente.