Seja w → = ( - 2 u   → +   v → )   ∧   ( 2 u →   - 3 v → ) . Determine o ângulo dos vetores u → e v → , sabendo que | u → | = | v → | = | w → |   =   1 2 e u → ⋅ v →   < 0 .

Passo 1

Fala, pessoal! Antes de mais nada, vamos desenvolver melhor a equação:

w → = ( - 2 u   → +   v → )   ∧   ( 2 u →   - 3 v → ) = ( - 2 u   → ) ∧   ( 2 u →   - 3 v → ) +   v → ∧   ( 2 u →   - 3 v → )

w → = - 4 u   → ∧   u →   + 6 u   → ∧ v → + 2   v → ∧   u →   - 3 v → ∧ v →

w → = 6 u   → ∧ v → - 2 u   → ∧ v →

w → = 4 u   → ∧ v →

Agora, podemos tirar o módulo de w → . Vamos lembrar que | u → | = | v → | =   1 2 . Então,

| w → | = 4 | u → | | v → | | s e n   θ | = 4 ⋅ 1 2 ⋅ 1 2 | s e n   θ | = | s e n   θ |

Agora, note que s e n   θ é justamente o seno do ângulo dos vetores u → e v → . Como | w → |   =   1 2 , então

| s e n   θ | = 1 2 ⇒ s e n   θ = ± 1 2 ⇒ θ = 30 ° , θ = 150 °

Para determinar qual ângulo é o correto, vamos usar u → ⋅ v →   = | u → | | v → | c o s θ < 0 . Então, devemos ter c o s θ < 0 . Temos

c o s 30 ° = 0,87

c o s 150 ° = - 0,87

Então, podemos concluir que o ângulo dos vetores u → e v → é 150 ° .

Resposta

150 °