Seja u = ( 3,1 ) . Determine as coordenadas de um vetor v , de módulo 2, e que faz com u um ângulo de 30 °

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nesta questão ele pede para determinarmos as coordenadas de um vetor v dado,

u = ( 3,1 )

Com u formando um ângulo 30 °

Passo 2

Sabendo que,

u = 3,1   e     v x , y → u . v = 3 x + y

Tendo u formando um ângulo de 30 ° ficamos com,

u . v = u   v . cos ⁡ 30 = 3 2 + 1 2 1 2 . 2 . 3 2 = 30

3 x + y = 30 → y = 30 - 3 x       ( 1 )

v = 2 = x 2 + y 2 1 2 → x 2 + y 2 = 4       ( 2 )

Passo 3

Substituindo (1) em (2):

x 2 + 30 - 3 x 2 = 4

5 x 2 - 3 30 x + 13 = 0

Utilizando bhaskara vamos ter que como raízes:

x 1 = ( 3 30 + 10 ) 10     e     x 2 =   ( 3 30 - 10 ) 10

E achando y 1   e   y 2 :

y 1 = 30 - 3 x 1 → y 1 = 30 - 9 30 10 - 3 10 10 → y 1 = ( 30 - 3 10 ) 10

y 2 = 30 - 3 x 2 → y 2 = 30 - 9 30 10 + 3 10 10 → y 2 = ( 30 + 3 10 ) 10

Com isso,

v = 3 30 + 10 10 ,     3 30 - 10 10 ou v = 30 - 3 10 10 ,   30 + 3 10 10  

Resposta

v = 3 30 + 10 10 ,     3 30 - 10 10 ou v = 30 - 3 10 10 ,   30 + 3 10 10