1. Seja v → = ( x , y , z ) com | v → | = a . Em função de x , y , z e a , calcule os ângulos que v → forma com os vetores da base de B = ( i → , j → , k → ) .
  2. O ângulo que v → = ( - 1 , - 2,3 ) forma com k → é agudo ou obtuso?
  3. Verdadeiro ou falso: Demonstre ou dê contra exemplo ( u → ⋅ v → ) 2 = | u → | 2 | v → | 2 .

Passo 1

  1. Mais uma questão, pessoal! Nesse item sabemos que v → = ( x , y , z ) com | v → | = a e temos que calcular o ângulo desse vetor com cada vetor da base B = ( i → , j → , k → ) . Sabemos que | i → | = | j → | = | k → | = 1 . Então, usando a fórmula do cosseno do ângulo, obtemos
  2. c o s   α = v → ⋅ i → | v → | | i | → = ( x , y , z ) ⋅ ( 1,0 , 0 ) a ⋅ 1 = x a

    c o s   β = v → ⋅ j → | v → | | j | → = ( x , y , z ) ⋅ ( 0,1 , 0 ) a ⋅ 1 = y a

    c o s   γ = v → ⋅ k → | v → | | k | → = ( x , y , z ) ⋅ ( 0,0 , 1 ) a ⋅ 1 = z a

    Passo 2

  3. Para saber se o ângulo que v → = ( - 1 , - 2,3 ) forma com k → é agudo ou obtuso, vamos, primeiramente, calcular o cosseno desse ângulo:
  4. c o s   θ = v → ⋅ k → | v → | | k | → = ( - 1 , - 2,3 ) ⋅ ( 0,0 , 1 ) 1 + 4 + 9 ⋅ 1 = 3 14 > 0

    O cosseno é positivo então, como vocês devem lembrar, isso significa que o ângulo é menor que 90 º , ou seja, é agudo.

    Passo 3

  5. Vamos tentar verificar a relação ( u → ⋅ v → ) 2 = | u → | 2 | v → | 2 . Começamos calculando o termo do lado esquerdo da equação:

( u → ⋅ v → ) 2 = ( | u → | | v → | c o s   x ) 2 = | u → | 2 | v → | 2 c o s 2 x

onde usamos u → ⋅ v → = | u → | | v → | c o s   x , sendo x o ângulo entre esses vetores. O que podemos notar, a partir de ( u → ⋅ v → ) 2 = | u → | 2 | v → | 2 c o s 2 x é que a relação ( u → ⋅ v → ) 2 = | u → | 2 | v → | 2 só é verdadeira quando o ângulo for 0 ou igual a 180 º . Para os demais casos, não será válida. Um contra exemplo é quando os vetores u → , v → são perpendiculares porque, nesse caso, u → ⋅ v → = 0 enquanto | u → | 2 | v → | 2 ≠ 0 .

Resposta

  1. c o s   α = x a , c o s   β = y a e c o s   γ = z a
  2. agudo
  3. falso