Seja G um grupo multiplicativo. Se A ⊂ G   e   A ≠ ∅ , seja A 1 = { x - 1 | x ∈ A } . Mostre que:

a) A - 1 - 1 = A

b) ∀ A , B ⊂ G , A ≠ ∅ , B ≠ ∅ ,   t e m - s e   A B - 1 = B - 1 . A - 1

Passo 1

Fala aiii meus lindos tudo blz? espero que sim

Então se liga só nessa questão do livro de álgebra moderna do Gerson Iezzi seja G um grupo multiplicativo. Se A ⊂ G   e   A ≠ ∅ , seja A 1 = { x - 1 | x ∈ A } . Mostre que:

a) A - 1 - 1 = A

b) ∀ A , B ⊂ G , A ≠ ∅ , B ≠ ∅ ,   t e m - s e   A B - 1 = B - 1 . A - 1

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Sabendo que,

A ⊂ G   e   A ≠ ∅ , c o m   A 1 = { x - 1 | x ∈ A }

Temos que na letra (a) para,

A - 1 - 1 = A

Temos,

A = x ∈ R * A - 1 ,   l o g o

A = ∅

Na letra (b) dado,

∀ A , B ⊂ G , A ≠ ∅ , B ≠ ∅ ,   t e m - s e   A B - 1 = B - 1 . A - 1

Ficando,

B ⊂ G → { x x B G ∈ ∀ }

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

a) A = ∅

b) B ⊂ G → { x x B G ∈ ∀ }