Seja H subespaço vetorial. Mostre que H ∩ H⊥ = {0}

Passo 1

Mais uma questão marota pra nós resolvermos no talento, então pode jogar a carta que tá na manga porque a resolução do Responde Aí tá chegando !!!

O nosso primeiríssimo passo é entender o enunciado, saca só, temos um subespaço vetorial H que sofre a interseção com H⊥, ou seja, com seu complemento ortogonal de todos os vetores de H, sendo H⊥ definido por:

H ⊥ = v   ∈   R n   |   〈 v | u 〉 = 0   p a r a   t o d o   u   ∈   H

Passo 2

Até aqui tá beleza, né? Então, nós vamos utilizar a equação do passo 1 fazer algumas associações para desenvolver uma resolução, te liga!

Se sabemos que para todo u   ∈   H e v   ∈   H ⊥ temos 〈 v | u 〉 = 0 pela relação de serem ortogonais, então, o que acontece se criarmos uma interseção entre u e v ???

Podemos chamar essa condição de w, sendo w ∈   H ∩ H ⊥   , fazendo uma distributiva é afirmativo dizer que w ∈   H e também que w ∈   H ⊥ . Bom, aqui a gente consegue reparar uma situação, se os dois pertencem ao mesmo conjunto de vetores, é como se eu tivesse o mesmo valor, pera lá, nesse caso, concorda que eu posso considerar que 〈 v | u 〉 = 0 é igual 〈 w | w 〉 = w 2 = 0 ?

Portanto, tá provadíssimo que interseccionar H ∩ H⊥ = {0} gera SIM um conjunto zerado!!!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)