Seja um isomorfismo de anéis. Mostre que:
- Se a E A é um elemento idempotente então f(a) também o é.
- Se a E A é nilpotente, então f(a) E B também o é.
- Se A possui unidade, aEA e 3b,cEA(bcEU(A)) tais que a=bc então f(a) EB também pode ser decomposto em dois fatores de B, ambos não inversíveis.
Passo 1
Opa meus lindos, tudo bem com vocês? Bora lá pra questão! Para o item a), é fácil de provar porque para isomorfismos de anéis também é bijetora. Logo, para elementos idempotentes, reflete na imagem assim como no domínio.
Passo 2
Para nilpotentes, também acontece por conta da bijeção da função. Pela parte de sobrejetoras.
Passo 3
Isso acontece pelo isomorfismos de anéis, que diz que a função pode ser decomposta em dois fatores, ambos irreversíveis entre si.