Seja f : A → B um isomorfismo de anéis. Mostre que:

  1. Se a E A é um elemento idempotente então f(a) também o é.
  2. Se a E A é nilpotente, então f(a) E B também o é.
  3. Se A possui unidade, aEA e 3b,cEA(bcEU(A)) tais que a=bc então f(a) EB também pode ser decomposto em dois fatores de B, ambos não inversíveis.

Passo 1

Opa meus lindos, tudo bem com vocês? Bora lá pra questão! Para o item a), é fácil de provar porque para isomorfismos de anéis também é bijetora. Logo, para elementos idempotentes, reflete na imagem assim como no domínio.

Passo 2

Para nilpotentes, também acontece por conta da bijeção da função. Pela parte de sobrejetoras.

Passo 3

Isso acontece pelo isomorfismos de anéis, que diz que a função pode ser decomposta em dois fatores, ambos irreversíveis entre si.

Resposta

P r o v a   n o s   p a s s o s