Seja T : V → W linear. Prove que:

Se T é injetiva, T leva conjunto LI em conjunto LI

Passo 1

E aí, pessoal, bora resolver mais um??!!

Para resolver esse exercício devemos lembrar que dizer que uma transformação linear T é injetora é equivalente a dizer que N u c T = { 0 V } .

Sabendo disso, vamos para a questão.

Passo 2

Seja { v 1 ,   … ,   v n } um conjunto LI de V . Temos que:

a 1 T v 1 + … + a n T v n = 0 W ⇒

T a 1 v 1 + … + a n v n = 0 W

Como T é injetora, isso implica em a 1 v 1 + … + a n v n = 0 V , e como o conjunto { v 1 , … , v n } é LI, isso implica em a 1 = … = a n = 0 . Logo, o conjunto { T v 1 , … ,   T v n } é LI, o que completa a demonstração.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)