Seja T : V -> W linear. Prove que:

I m ( T ) é subespaço vetorial

Passo 1

E aí, pessoal, tudo certo? Bora resolver mais esse!!!

Antes de tudo, vamos lembrar como é caracterizado um subespaço vetorial. Seja V um espaço vetorial e U sub V , temos que U é um subespaço vetorial se:

1- 0 in U ;

2- U é fechado para soma vetorial, ou seja, se u , v in U então u + v in U ;

3- U é fechado para multiplicação por escalar, ou seja, se k in R e u in U então k u in U ;

Passo 2

Vamos verificar se I m ( T ) satisfaz as condições para ser um subespaço vetorial:

1- Como T (0_V) = 0_W , segue que 0_W in I m ( T ) .

2- Sejam w_1 = T ( v_1 ) e w_2 = T ( v_2 ) dois vetores de I m ( T ) , onde v_1 , v_2 são vetores de V . Temos que:

w_1 + w_2 = T (v_1) + T (v_2) = T ( v_1 + v_2 )

Portanto, w_1 + w_2 in I m ( T ) .

3- Sejam alpha in R e w_1 = T ( v_1 ) um vetor de I m (T) , onde v_1 in V . Temos que:

alpha w_1 = alpha T (v_1) = T ( alpha v_1 )

Portanto, alpha w_1 in I m ( T ) .

Logo, está demonstrado que I m ( T ) é um subespaço vetorial.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)