b. Seja A uma matriz n × n . Se det ⁡ ( A ) é conhecido, calcule det ⁡ ( λ A ) , onde λ   ϵ   R . Note que, em geral não é λ det ⁡ ( A ) .

Passo 1

Faaala, galeraaa!

Observe a matriz genérica A abaixo:

A n × n = a 11 a 12 a 21 a 22 … a 1 n … 0 ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋱ ⋮ … a n n

O determinante da matriz será det ⁡ ( A ) .

Passo 2

Agora vamos entender como encontrar det ⁡ ( λ A ) . A matriz que temos agora é:

λ A n × n = λ a 11 a 12 a 21 a 22 … a 1 n … 0 ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋱ ⋮ … a n n

Por propriedade de determinantes temos que:

det ⁡ ( K A ) = K n det ⁡ ( A )         ( I )

Neste caso nossa constante será K = λ . Substituindo em ( I ) , temos:

det ⁡ ( λ A ) = λ n det ⁡ ( A )

OBS: Observe que a constante é elevada à ordem da matriz.

Resposta

det ⁡ ( λ A ) = λ n det ⁡ ( A )