Seja X a matriz de projeto usada para encontrar a reta de mínimos quadráticos para os dados (x1, y1), ..., (xn, yn). Use um dos teoremas na Seção 6.5 para mostrar que as equações normais têm uma única solução se e somente se os dados incluírem pelo menos dois pontos com coordenadas x diferentes.
Passo 1
Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊
O objetivo é mostrar que as equações normais têm uma solução única se e somente se os dados incluírem pelo menos dois pontos de dados com coordenadas em diferentes.
Considere o seguinte resultado:
Suponha que seja uma matriz , então os seguintes estados são logicamente equivalentes:
1. A equação tem uma solução única de menos quadrados para cada um em .
2. As colunas são linearmente independentes.
3. A matriz é invertível.
Assim, a solução de menos quadrados é dada por .
Passo 2
Condição necessária:
Considere que os dois pontos de dados têm coordenadas em diferentes, então as duas colunas da matriz de design não podem ser múltiplos um do outro.
Então, eles são linearmente independentes.
Assim, a partir do resultado discutido acima, equações normais têm uma solução única.
Condição suficiente:
Deixe que as equações normais tenham uma solução única. Em seguida, a partir do resultado discutido acima, a solução é dada pela seguinte relação:
Isso implica que a matriz é invertível.
Note que, é invertível se e somente se for invertível. é invertível se e somente se as colunas de são linearmente independentes.
Isso implica que os dados incluem pelo menos dois pontos de dados com coordenadas diferentes. Caso contrário, se todos os pontos de dados forem iguais, a matriz correspondente terá vetores de colunas linearmente dependentes. O que resultará em invertível. O que é contradição.
Portanto, o resultado é verdadeiro.
Resposta
Verdadeiro.