Seja X a matriz de projeto usada para encontrar a reta de mínimos quadráticos para os dados (x1, y1), ..., (xn, yn). Use um dos teoremas na Seção 6.5 para mostrar que as equações normais têm uma única solução se e somente se os dados incluírem pelo menos dois pontos com coordenadas x diferentes.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

O objetivo é mostrar que as equações normais têm uma solução única se e somente se os dados incluírem pelo menos dois pontos de dados com coordenadas em x diferentes.

Considere o seguinte resultado:

Suponha que A seja uma matriz m × n , então os seguintes estados são logicamente equivalentes:

1. A equação A x = b tem uma solução única de menos quadrados para cada um b em R m .

2. As colunas são A linearmente independentes.

3. A matriz A T A é invertível.

Assim, a solução de menos quadrados x ˆ é dada por x ˆ = A T A - 1 A T b .

Passo 2

Condição necessária:

Considere que os dois pontos de dados têm coordenadas em x diferentes, então as duas colunas da matriz de design x não podem ser múltiplos um do outro.

Então, eles são linearmente independentes.

Assim, a partir do resultado discutido acima, equações normais têm uma solução única.

Condição suficiente:

Deixe que as equações normais tenham uma solução única. Em seguida, a partir do resultado discutido acima, a solução é dada pela seguinte relação:

x ˆ = A T A - 1 A T b

Isso implica que a matriz A T A é invertível.

Note que, A T A é invertível se e somente se A for invertível. A é invertível se e somente se as colunas de A são linearmente independentes.

Isso implica que os dados incluem pelo menos dois pontos de dados com x coordenadas diferentes. Caso contrário, se todos os pontos de dados forem iguais, a matriz correspondente terá vetores de colunas linearmente dependentes. O que resultará em A T A is  invertível. O que é contradição.

Portanto, o resultado é verdadeiro.

Resposta

Verdadeiro.