Seja A uma matriz 3 × 3 e y seja um vetor em ℝ3 tal que a equação Ax = y não tem solução. Existe algum vetor z em ℝ3 tal que a equação Ax = z tem uma única solução? Discuta.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Considerando que A é uma 3 × 3 matriz, e b é um vetor de tal forma R 3 que a equação A x = b não tem uma solução.

O objetivo é dizer que existe um vetor y de R 3 tal forma que a equação A x = y tenha uma solução única.

Passo 2

A resposta é não.

Se uma equação A x = b não tem uma solução, então a linha reduzida forma de matriz de coeficiente A tem uma linha zero.

Porque a linha reduziu a matriz aumentada deve ter uma linha da forma 0 0 0 1 .

Como o coeficiente matrix A de ordem é 3 × 3 e a linha reduzida matriz aumentada tem linha zero, isso significa que uma das colunas de matriz A não tem um pivô.

Passo 3

Agora, se A x = y tiver uma solução única, isso significa que a linha reduzida a partir de matriz A não tem colunas livres, pois caso contrário o sistema A y teria variáveis livres.

Isso é uma contradição, porque já decidimos que a matriz A deve ter uma coluna livre.

Portanto, não há vetor y de R 3 tal forma que a equação A x = y tenha uma solução única.

Resposta

Resposta nos passos.