Seja A a matriz singular 1 2 2 4 e seja T o triângulo definido no Exercício 8. Descreva a imagem de T sob a transformação matricial f: R2 → R2 definida por f(v) = Av.

Passo 1

E aí pessoal, belezinha. Vamos agora trabalhar em algumas questões de computação gráfica, envolvendo transformações lineares.

A partir do enunciado, sabemos que os vértices do triângulo são escritos:

v 1 = 1 1 ,   v 2 = - 3 - 3 , e   v 3 = 2 - 1

Aplicando a transformação pedida teremos:

f v = f x y = 1 2 2 4 x y .

Passo 2

Para realizarmos a transformação pedida, para os pontos dados, e obter um novo triângulo, teremos que calcular as imagens f(v1), f(v2) e f(v3):

f v 1 = 1 2 2 4 1 1 = 1 + 2 2 + 4 = 3 6

f v 2 = 1 2 2 4 - 3 - 3 = - 3 - 6 - 6 - 12 = - 9 - 18

f v 3 = 1 2 2 4 2 - 1 = 2 - 2 4 - 4 = 0 0

Passo 3

Os vértices do novo triângulo são (3, 6), (-9, -18) e (0, 0).

O triângulo antes da transformação:

Após a transformação:

As retas suporte do novo triângulo ficam todas sobrepostas, ou seja, a transformação matricial alinha os pontos A, B e C. Podemos verificar a partir da condição de alinhamento de 3 pontos, que é dada por:

D A B C = 0

Escrevendo o determinante das coordenadas dos vértices obtidos, vamos calcular e verificar se seu resultado é igual ou diferente de zero:

3 6 1 - 9 - 18 1 0 0 1 = - 54 + 0 + 0 - 0 - 0 - - 54 = 0

Logo, confirmamos que os pontos A, B e C estão alinhados, e que não formam um triângulo após a transformação.

Resposta

Ver passo a passo.