Seja U uma matriz triangular superior com todos os elementos diagonais diferentes de zero.

(a) Explique por que U tem que ser invertível.

(b) Explique por que U - 1 tem que ser triangular superior.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

  1. ‎A forma de escalão reduzida de cada matriz triangular superior quadrada com entradas diagonais não zero é uma matriz de identidade. Em primeiro lugar, todas as entradas triangulares superiores de tal matriz são transformadas em 0's usando operações de linha III. Assim, obtemos uma matriz diagonal com entradas diagonais não zero. Depois disso, usando as operações de linha II, cada uma das entradas diagonais é transformada em 1's. Portanto, temos uma matriz de identidade. Isso implica que a matriz U (ou qualquer matriz triangular superior quadrada) é equivalente à matriz de identidade.‎
  2. Passo 2

  3. ‎Mesma série de operações de linha elementar que transformam matriz não-singular U em I vou transformá-lo em ‎ U - 1 ‎. Como explicado na parte (a) deste exercício, há uma série de operações de linha elementar que transformarão a matriz U em matriz de identidade I. Essas operações de linha elementar não afetam a parte triangular inferior da matriz U (essa é a razão pela qual permanecem zeros durante essas operações de linha elementar). Uma vez que a matriz de identidade em si é matriz triangular superior quadrada, aplicar as mesmas operações de linha nela produzirá a matriz ‎ U - 1 , mas também não afetará suas entradas triangulares inferiores (são iguais a zero, iguais à da matriz de identidade). Portanto, matriz ‎ U - 1 ‎ também será triangular superior.

Resposta

Resposta nos passos.