Seja U e R matrizes triangulares superiores n X n e seja T = UR. Mostre que T também é triangular superior e que t j j = u j j r j j para j = 1, n.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Seja U = u i j e R = r i j seja n   x   n ‎matrizes triangulares superiores‎. ‎Isso implica que para cada‎ i > j , u i j = 0 e r i j = 0 . Desde T   =   U   R , segue que

t i j = ∑ k = 1 n u i k r k j ,   i ,   j   =   1 ,   2 ,   .   .   . ,   n

‎Vamos ver o que acontece no caso de ‎‎I>j‎‎.

Passo 2

‎Para cada um ‎k=1, 2, ...,n‎‎ temos que ou ‎kj. ‎Portanto, qualquer um‎ u i k = 0 ou r k j = 0 para qual k   =   1,2 ,   .   .   . ,   n . ‎Assim, para cada ‎‎I>j‎‎, segue isso ‎ t i j = 0 ‎. Isso equivale à matriz T sendo triangular superior‎.

‎Agora, vamos considerar o caso em que ‎i=j‎. Se ‎ i   ≠ k ‎, então qualquer um ‎‎I>k‎‎ ou ‎‎I u i k = 0 ‎, enquanto no segundo temos que ‎ r k i = 0 ‎. Portanto, podemos concluir o seguinte:‎

t i i = ∑ k = 1 n u i k r k i = u i i r i i   ,   i   = 1 ,   2   ,   .   .   .   n

Resposta

Resposta nos passos.