Seja v 1 , v 2 , … , v n   uma base de R n e A v k = k v k , com k=1, ..., n.

  1. Mostre que existe P tal que P - 1 A P é diagonal;

Passo 1

Para resolvermos essa questão de uma forma bem facinha, basta lembrar as condições que tornam uma matriz diagonalizável se existe P invertível tal que P - 1 A P = D com D diagonal.

Portanto, A v k = k v k pode ser escrito como as colunas de P são autovetores de A com autovalores k na diagonal de D. Para isso, P necessariamente teria que ser escrito com cada coluna um autovetor v n , a questão nos disse que v = v 1 , v 2 , … , v n , logo, que P - 1 A P seja diagonalizável, P deve ser:

E prontinho, terminamos, topa resolvermos outra questão juntos?

Resposta