Seja v 1 ,   v 2 ,   … ,   v n uma base de V e w ∈ V tal que < v i | w >   = 0 para todo i = 1,2 , … , n . Prove que w = 0 .

Passo 1

E aí, pessoal, bora resolver mais um??!!

Para resolver essa questão vamos utilizar dois conceitos sobre complemento ortogonal:

1- Seja V ⊥ o complemento ortogonal de V , ele pode ser definido da seguinte maneira:

V ⊥ = { v ∈ R n   < v i v >   = 0 ,   i = 1,2 , … , n }

2- V ⋂ V ⊥ = { 0 }

Com os conceitos em mente, vamos para o exercício!!!

Passo 2

Pelo conceito (1) temos que w ∈ V ⊥ . Sendo assim, como pelo enunciado temos que w ∈ V , segue que w ∈ V ⋂ V ⊥ , donde concluímos pelo conceito (2) que w = 0 .

Resposta

Resolução acima.