Seja β = { v 1 ,   v 2 ,   … ,   v n } um conjunto de vetores tal que: { v 1 , v 2 , … , v n - 1 } é LI e v n ∉   < v 1 , v 2 ,   … , v n - 1 > . Mostre que β é LI.

Passo 1

E aí, pessoal, beleza? Vamos a questão!!!

Dizemos que um conjunto de vetores { v 1 ,   … ,   v n } é LD, se existirem reais a 1 ,   … ,   a n , não todos nulos, tais que:

a 1 v 1 + … + a n v n = 0

Caso contrário, ou seja, se a única solução para a equação acima for a 1 = … = a n = 0 , dizemos que o sistema é LI

Sabendo disso, vamos para o exercício.

Passo 2

Supomos por absurdo que β é LD. Dessa forma, existem reais a 1 , … ,   a n , não todos nulos, tais que:

a 1 v 1 + … + a n v n = 0

Fazendo a n = 0 , ficaríamos com:

a 1 v 1 + … + a n - 1 v n - 1 = 0

Onde os coeficientes dos v i não são todos nulos, mas isso seria uma contradição, pois { v 1 , v 2 , … , v n - 1 } é LI. Sendo assim, fazemos a n ≠ 0 , de forma que ficamos com:

v n = - a 1 a n v 1 - … - a n - 1 a n v n - 1

Ou seja, obtemos que v n é uma combinação linear dos vetores v 1 ,   … ,   v n - 1 , o que é mais uma contradição, pois pelo enunciado temos que v n ∉   < v 1 , v 2 ,   … , v n - 1 > .

Sendo assim, está provado por absurdo que o conjunto β é LI.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)