Seja W={p ∈ P 3   |   p 0 = 0 } e D : W→ P 3 definida por Dp=p’. Mostre que D é injetiva.

Passo 1

Bateu o olho na questão e achou que seria muito difícil, acredita que nem é?

Se liga que a primeira coisa a fazer é traduzir o comando da questão. Então, nós temos uma transformação linear D de W para um polinômio de terceiro grau, sendo que D é a derivada do polinômio, sobre W nós sabemos que também se trata de um polinômio de terceiro grau em que necessariamente o p(0)=0.

Passo 2

Analisando W, um polinômio qualquer do terceiro grau: p x = a x 3 + b x 2 + c x + d = 0   . Sabendo que queremos p(0), temos: p 0 = d , aqui nós obtemos dois casos:

  1. d ≠ 0 : assim também teríamos p(0) ≠ 0
  2. d=0 : assim p 0 = 0

Ou seja, o núcleo da transformação linear da derivada primeira vai ser somente os polinômios constantes, ou seja p(0)=d, porém, se os polinômios forem zerados, temos a relação de p(0)=d=0 para que p pertença à W.

Passo 3

Até aqui beleza, né?

Aí pensa comigo, qual é o único polinômio que é levado ao 0 pela transformação linear da derivada primeira? É um polinômio nulo, ok ok, aqui nós lembramos do Teorema do Núcleo e da Imagem e, assim, podemos afirmar que TODO polinômio nulo consequentemente tem seu núcleo zerado e é injetivo. Portanto, D é sim injetivo!!!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)