Seja A = 0   0   0   0  

  1. ____ é(são) autovalor(es) ; (b) ___ são autovetores ; (c) ___ A diagonalizável

Passo 1

a)

Salveee aluninho do Responde Aí, o primeiro passo pra destruir essa questão é determinar no item A os autovalores da matriz A, ou seja, a gente vai aplicar det(A−λI), então teremos:

A = d e t 0 - λ   0   0   0 - λ   = - λ - λ - 0 = λ 2 = 0

Portanto, a única raiz possível é λ=0, logo, o autovalor também é 0.

Passo 2

b)

Até aqui tá beleza né?! Mas como a gente consegue esse tal de autovetor? Simples demais, basta substituir o autovalor λ=0 no lugar de λ na matriz A, dessa forma:

A = 0 - 0   0   0   0 - 0   = 0   0   0   0  

Podemos escrever a matriz como o sistema, sendo { x 1 = x 1   x 2 = x 2   , logo as soluções são:

x 1 1 0 + x 2 0 1

Então, os autovetores são os próprios termos entre parênteses:

v 1 = 1 0   ;   v 2 = 0 1

Passo 3

c) E por fim, para descobrirmos se a matriz é diagonalizável, ela tem que satisfazer a condição de que exista uma matriz inversível P e uma matriz diagonal D tal que A = P D P - 1 . Sendo assim, temos:

  • D é a matriz diagonal composta dos elementos na diagonal são os autovalores (λ=0):
  • D = 0   0   0   0  

  • P é a matriz composta dos autovetores   v 1 = 1 0   ;   v 2 = 0 1 :
  • P = 1   0   0   1  

  • P - 1 é a inversa de P que corresponde à:

P - 1 = 1   0   0   1  

Ah agora tá moleza, se todas as condições são satisfeitas então a matriz é... Diagonalizável!!

Resposta

a) autovalor=0 ; b) v 1 = 1 0   ;   v 2 = 0 1 ; c) é diagonalizável