Seja y =   β 4 x 4 +   β 3 x 3 +   β 2 x 2 + β 1 x + β 0 um polinômio que passa por 5 pontos dados: a 1 , b 1 ,   a 2 , b 2 ,   a 3 , b 3 ,   ( a 4 , b 4 ) e ( a 5 , b 5 ) . Escreva a matriz ampliada (conhecida como matriz de Vandermonde) do sistema que determina as 5 variáveis β 4 ,   β 3 ,   β 2 ,   β 1 e β 0 . Note que os pares ( a i ,   b i ) são dados, e serão coeficientes da matriz ampliada.

Passo 1

Como o polinômio y =   β 4 x 4 +   β 3 x 3 +   β 2 x 2 + β 1 x + β 0 passa pelos pontos a 1 , b 1 ,   a 2 , b 2 ,   a 3 , b 3 ,   ( a 4 , b 4 ) e ( a 5 , b 5 ) devemos ter:

b 1 = β 4 a 1 4 +   β 3 a 1 3 + β 2 a 1 2 + β 1 a 1 + β 0 b 2 = β 4 a 2 4 +   β 3 a 2 3 + β 2 a 2 2 + β 1 a 2 + β 0 b 3 = β 4 a 3 4 +   β 3 a 3 3 + β 2 a 3 2 + β 1 a 3 + β 0 b 4 = β 4 a 4 4 +   β 3 a 4 3 + β 2 a 4 2 + β 1 a 4 + β 0 b 5 = β 4 a 5 4 +   β 3 a 5 3 + β 2 a 5 2 + β 1 a 5 + β 0 ⇔ a 1 4 β 4 +   a 1 3 β 3 + a 1 2 β 2 + a 1 β 1 + β 0   = b 1 a 2 4 β 4 +   a 2 3 β 3 + a 2 2 β 2 + a 2 β 1 + β 0   = b 2 a 3 4 β 4 +   a 3 3 β 3 + a 3 2 β 2 + a 3 β 1 + β 0   = b 3 a 4 4 β 4 +   a 4 3 β 3 + a 4 2 β 2 + a 4 β 1 + β 0   = b 4 a 5 4 β 4 +   a 5 3 β 3 + a 5 2 β 2 + a 5 β 1 + β 0   = b 5

Logo, a matriz ampliada do sistema que determina as 5 variáveis β 4 ,   β 3 ,   β 2 ,   β 1 e β 0 é dada por:

a 1 4 a 1 3 a 1 2 a 1 1 | b 1 a 2 4 a 2 3 a 2 2 a 2 1 | b 2 a 3 4 a 3 3 a 3 2 a 3 1 | b 3 a 4 4 a 4 3 a 4 2 a 4 1 | b 4 a 5 4 a 5 3 a 5 2 a 5 1 | b 5

Resposta

a 1 4 a 1 3 a 1 2 a 1 1 | b 1 a 2 4 a 2 3 a 2 2 a 2 1 | b 2 a 3 4 a 3 3 a 3 2 a 3 1 | b 3 a 4 4 a 4 3 a 4 2 a 4 1 | b 4 a 5 4 a 5 3 a 5 2 a 5 1 | b 5