Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Algebra Moderna - Hygino H. Domingues e Gelson Iezzi- Ed: 4º - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 28
Seja E = {x ∈ Z | |x| ≤ 3} e seja R a relação sobre E definida por
a) Mostre que R é uma relação de equivalência.
b) Descreva o conjunto-quociente E/R.
Passo 1
Fala minha galera, bora fazer mais um exercício maravilhoso da matemática discreta!
- Para que uma relação seja de equivalência, ela deve ser ao mesmo tempo reflexiva, simétrica e transitiva. Visto isso, vamos provar cada uma das propriedades listadas!
- Como então os elementos de E são números
Para todo , a relação é válida:
Então a relação é reflexiva.
Passo 2
Dado com , então:
Se subtrairmos de ambos os membros da igualdade, temos:
Vamos subtrair agora de ambos os membros:
Multiplicando ambos os lados por -1:
Isso implica que , e assim está provada a simetria.
Passo 3
E a transitividade é provada tomando com e y, então:
E está provado que é transitiva concluindo que a relação é de equivalência.
Passo 4
Por definição o conjunto quociente é o conjunto das classes de equivalência de cada um dos elementos de E, ou seja, vamos escrever de forma matemática:
;
;
;
;
;
;
.
Então E/R
Resposta
- Demonstração
- E/R