Enunciado

Seja E = {x ∈ Z | |x| ≤ 3} e seja R a relação sobre E definida por

x R y   s e ,   e   s o m e n t e   s e ,   x   +   x =   y   +   y

a) Mostre que R é uma relação de equivalência.

b) Descreva o conjunto-quociente E/R.

Passo 1

Fala minha galera, bora fazer mais um exercício maravilhoso da matemática discreta!

  1. Para que uma relação seja de equivalência, ela deve ser ao mesmo tempo reflexiva, simétrica e transitiva. Visto isso, vamos provar cada uma das propriedades listadas!
  2. Para todo x ∈ E , a relação é válida:

      x   +   x =   x   +   x

    Então a relação é reflexiva.

    Passo 2

    Dado x , y ∈ E com x R y , então:

      x   +   x =   y   +   y

    Se subtrairmos x   +   x   de ambos os membros da igualdade, temos:

    x   +   x - x   +   x =   y   +   y - x   +   x  

    0 =   y   +   y + - x -   x

    Vamos subtrair agora   y   +   y   de ambos os membros:

    - (   y   +   y ) =   y   +   y + - x -   x - (   y   +   y )

    - (   y   +   y )   = - x + x

    Multiplicando ambos os lados por -1:

    - (   y   +   y )   = - x + x               × - 1

      y   +   y   = x + | x |  

    Isso implica que y R x , e assim está provada a simetria.

    Passo 3

    E a transitividade é provada tomando x , y , z ∈ E com x R y e y R z , então:

    x + x = y   +   y   e     y   +   y   = z + | z |  

    → x + | x |     = z + z

    ⇒ x R z

    E está provado que é transitiva concluindo que a relação é de equivalência.

    Passo 4

  3. Como E = x ∈ Z   x ≤ 3 } então os elementos de E são números - 3 , - 2 , - 1,0 , 1,2 , 3

Por definição o conjunto quociente é o conjunto das classes de equivalência de cada um dos elementos de E, ou seja, vamos escrever de forma matemática:

- 3 - = x ∈ E     ( x R - 3 ) } = { - 3 , - 2 , - 1,0 } ;

- 2 - = x ∈ E     ( x R - 3 ) } = { - 3 , - 2 , - 1,0 } ;

- 1 - = x ∈ E     ( x R - 3 ) } = { - 3 , - 2 , - 1,0 } ;

0 - = x ∈ E     ( x R - 3 ) } = { - 3 , - 2 , - 1,0 } ;

1 - = x ∈ E     ( x R - 3 ) } = { 1 } ;

2 - = x ∈ E     ( x R - 3 ) } = { 2 } ;

3 - = x ∈ E     ( x R - 3 ) } = { 3 } .

Então E/R = - 3 , - 2 , - 1,0 , 1 , 2 , 3 .

Resposta

  1. Demonstração
  2. E/R = - 3 , - 2 , - 1,0 , 1 , 2 , 3 .