Enunciado

Seja P o pé da perpendicular baixada do foco F da hipérbole

x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1

A uma das assíntotas. Demonstre que P F - = b   e   P O - = a ,   onde O é a origem do sistema de coordenadas

Passo 1

Primeiro vamos usar um desenho para ajudar

Esse desenho nos ajuda a entender o que está ocorrendo, pois temos esse retângulo no meio.

A altura do retângulo é 2b e sua largura é 2a.

Agora olhe para o ponto C, temos que sua distância até a origem é maior que a, pois ele é hipotenusa de um triangulo com um dos catetos medindo a. Como queremos um ponto P, onde sua distância até a origem é a, já podemos pensar que esse ponto P é da mesma assíntota do ponto C, porém antes dele.

Passo 2

Vamos tomar agora a equação de uma das assíntotas, no caso a assíntota que contém o ponto C:

y = b a x

Agora nós temos uma outra reta r que passa por P e por F e é perpendicular à assíntota.

r :       y - y o = m x - x 0

m b a =   - 1 ,   p o i s   a s   r e t a s   s ã o   p e r p e n d i u l a r e s  

Logo m =   - a b

Como F pertence à reta r e F = c , 0 :

r :       y - 0 = - a b x - c

y =   - a b x + c a b

Passo 3

Agora iremos usar a fórmula de distância entre ponto e reta:

d P , F = d F , s ,   p o i s   P   é   o   p é   d a   p e r p e n d i c u l a r

Onde s é a assíntota.

s : y = b a x ,   e n t ã o   y a - b x = 0   e   F = c , 0

Aplicando a fórmula:

d F , s = a 0 - b c a 2 + b 2 = - b c c = b = d ( P , F )

A primeira parte já foi, agora vamos para segunda.

Agora poremos só aplicar o teorema de Pitágoras, pois de d P , F = b e d F , O = c

E sabemos que PFO é um triângulo retângulo, com hipotenusa FO:

c 2 = b 2 + P O - 2

Logo, pela relação base da hipérbole c 2 = b 2 + a 2 ,   c o n c l u i m o s   q u e   P O - = a  

Resposta

Demonstração

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