Seja f1, a reflexão em relação ao eixo dos y e f2, a rotação anti-horária de π/2 radianos. Mostre que o resultado da primeira aplicação de f1, e, em seguida, de f2 não é igual a aplicação de f2, seguida de f2.

Passo 1

E aí pessoal, belezinha. Vamos agora trabalhar em algumas questões de computação gráfica, envolvendo transformações lineares.

A partir do enunciado e dos conteúdos da seção, sendo v = x y , temos que a reflexão em relação ao eixo y é dada por:

f v = f x y = - 1 0 0 1 x y = - x y

Aplicando a rotação anti-horária de um ângulo φ no resultado anterior, teremos:

f - x y = cos ⁡ φ - s e n   φ s e n   φ cos ⁡ φ - x y = - x cos ⁡ φ - y s e n   φ - x s e n   φ + y cos ⁡ φ

Substituindo o ângulo φ por π/2 rad, temos que:

f - x y = - x ∙ 0 - y ∙ 1 - x ∙ 1 + y ∙ 0 = 0 - y - x + 0 = - y - x

Passo 2

Após realizarmos a ordem f1 e f2 para as transformações, vamos fazer na sequência oposta. Aplicando primeiro a rotação anti-horária e depois a reflexão em relação a y teremos:

f x y = cos ⁡ φ - s e n   φ s e n   φ cos ⁡ φ x y = x cos ⁡ φ - y s e n   φ x s e n   φ + y cos ⁡ φ

Substituindo o ângulo φ por π/2 rad, temos que:

f x y = x ∙ 0 - y ∙ 1 x ∙ 1 + y ∙ 0 = 0 - y x + 0 = - y x

Aplicando a reflexão em relação a y para o resultado obtido:

f - y x = - 1 0 0 1 - y x = y + 0 0 + x = y x

Passo 3

Os resultados obtidos são claramente diferentes:

- y - x ≠ y x

Resposta

Ver passo a passo.