Seja uma reflexão em torno da reta e uma projeção ortogonal nesta reta. Determine:
a) um vetor tal que .
b) um vetor tal que .
c) o núcleo de .
d) o núcleo de .
Passo 1
E aí, pessoal, bora pra mais um??!!
a) Para que a projeção ortogonal de um vetor sobre um espaço vetorial , dê o próprio vetor , significa que . Sendo assim, o vetor procurado nesse caso, é qualquer vetor da reta , fixando , por exemplo, obtemos , ou seja, o vetor satisfaz a igualdade .
b) Para que a reflexão de um vetor sobre um espaço vetorial , dê o inverso de , significa que . O complemento ortogonal da reta é a reta . Sendo assim, o vetor procurado nesse caso, é qualquer vetor da reta , fixando , por exemplo, obtemos , ou seja, o vetor satisfaz a igualdade .
c) O núcleo de é formado por todos os vetores tais que , ou seja, pelos vetores que pertencem ao complemento ortogonal da reta . Pelo item (b), concluímos que o núcleo de é a reta .
d) O único vetor tal que é o vetor . Sendo assim, o núcleo de é o conjunto .
Resposta
a) .
b) .
c) A reta .
d) .