Seja R uma reflexão em torno da reta 3 x + 5 y = 0 e P uma projeção ortogonal nesta reta. Determine:

a) um vetor v ≠ 0 tal que P v = v .

b) um vetor v ≠ 0 tal que R v = - v .

c) o núcleo de P .

d) o núcleo de R .

Passo 1

E aí, pessoal, bora pra mais um??!!

a) Para que a projeção ortogonal de um vetor v sobre um espaço vetorial V , dê o próprio vetor v , significa que v ∈ V . Sendo assim, o vetor procurado nesse caso, é qualquer vetor da reta 3 x + 5 y = 0 , fixando x = 1 , por exemplo, obtemos y = - 3 5 , ou seja, o vetor v = 1 , - 3 5 satisfaz a igualdade P v = v .

b) Para que a reflexão de um vetor v sobre um espaço vetorial V , dê o inverso de v , significa que v ∈ V ⊥   . O complemento ortogonal da reta 3 x + 5 y = 0 ⇔ y = - 3 5 x é a reta y = 5 3 x . Sendo assim, o vetor procurado nesse caso, é qualquer vetor da reta y = 5 3 x , fixando x = 1 , por exemplo, obtemos y = 5 3 , ou seja, o vetor v = 1 , 5 3 satisfaz a igualdade R v = - v .

c) O núcleo de P é formado por todos os vetores v tais que P v = 0 , ou seja, pelos vetores que pertencem ao complemento ortogonal da reta 3 x + 5 y = 0 . Pelo item (b), concluímos que o núcleo de P é a reta y = 5 3 x .

d) O único vetor v tal que R v = 0 é o vetor v = 0 . Sendo assim, o núcleo de R é o conjunto 0 .

Resposta

a) v = 1 , - 3 5 .

b) 1 , 5 3 .

c) A reta y = 5 3 x .

d) { 0 } .