Seja S a relação definida em R 2 da seguinte forma:

x 1 , y 1 S x 2 , y 2   s e ,   e   s o m e n t e   s e ,   4 x 1 2 + 9 y 1 2 = 4 x 2 2 + 9 y 2 2

  1. Prove que S é uma relação de equivalência.
  2. Descreva geometricamente a classe   3,0 - .
  3. Descreva o conjunto-quociente R 2 / S .

Passo 1

Fala galera, exercício complementar é dureza, mas vamos tirar de letra, vem comigo.

  1. Para que uma relação seja de equivalência, ela deve ser ao mesmo tempo reflexiva, simétrica e transitiva. Visto isso, vamos provar cada uma das propriedades listadas!
  2. Para todo x ∈ R 2 , a relação é válida:

      4 x 1 2 + 9 y 1 2   = 4 x 1 2 + 9 y 1 2  

    Então a relação é reflexiva.

    Passo 2

    Dado x 1 , y 1 , x 2 , y 2   ∈ R 2 com x 1 , y 1 S x 2 , y 2   , então:

    4 x 1 2 + 9 y 1 2 = 4 x 2 2 + 9 y 2 2

    Subtraindo 4 x 1 2 + 9 y 1 2 de ambos os lados:

    4 x 1 2 + 9 y 1 2 - ( 4 x 1 2 + 9 y 1 2 ) = 4 x 2 2 + 9 y 2 2 - ( 4 x 1 2 + 9 y 1 2 )

    0 = 4 x 2 2 + 9 y 2 2 - ( 4 x 1 2 + 9 y 1 2 )

    Subtraindo 4 x 2 2 + 9 y 2 2 de ambos os lados:

    0 - 4 x 2 2 + 9 y 2 2   = 4 x 2 2 + 9 y 2 2 - 4 x 1 2 + 9 y 1 2 - ( 4 x 2 2 + 9 y 2 2 )

    - 4 x 2 2 + 9 y 2 2   = - 4 x 1 2 + 9 y 1 2

    Multiplicando ambos os lados por -1:

    - 4 x 2 2 + 9 y 2 2   = - 4 x 1 2 + 9 y 1 2                   × - 1

    4 x 2 2 + 9 y 2 2   = 4 x 1 2 + 9 y 1 2

    Isso implica que x 2 , y 2 S x 1 , y 1 , e assim está provada a simetria.

    Passo 3

    E a transitividade é provada tomando x 1 , y 1 ,   x 2 , y 2 , ( x 3 , y 3 ) ∈ R 2 com x 1 , y 1 S x 2 , y 2 e x 2 , y 2 S x 3 , y 3 , então:

    4 x 1 2 + 9 y 1 2 = 4 x 2 2 + 9 y 2 2   e   4 x 2 2 + 9 y 2 2 = 4 x 3 2 + 9 y 3 2

    ⇒ 4 x 1 2 + 9 y 1 2 = 4 x 3 2 + 9 y 3 2

    ⇒ x 1 , y 1 S ( x 3 , y 3 )

    E está provado que é transitiva concluindo que a relação é de equivalência.

    Passo 4

  3. A classe de equivalência representa uma elipse, porém, a classe 3,0 - representa uma parábola com ponto mínimo na origem.
  4. Passo 5

  5. O conjunto-quociente é

R 2 S = x , y S ; x , y ∈ R 2

Ele representa as elipses centradas na origem.

Resposta

Demonstração.