Seja S a relação definida em da seguinte forma:
- Prove que S é uma relação de equivalência.
- Descreva geometricamente a classe .
- Descreva o conjunto-quociente .
Passo 1
Fala galera, exercício complementar é dureza, mas vamos tirar de letra, vem comigo.
- Para que uma relação seja de equivalência, ela deve ser ao mesmo tempo reflexiva, simétrica e transitiva. Visto isso, vamos provar cada uma das propriedades listadas!
- A classe de equivalência representa uma elipse, porém, a classe representa uma parábola com ponto mínimo na origem.
- O conjunto-quociente é
Para todo , a relação é válida:
Então a relação é reflexiva.
Passo 2
Dado com , então:
Subtraindo de ambos os lados:
Subtraindo de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por -1:
Isso implica que , e assim está provada a simetria.
Passo 3
E a transitividade é provada tomando com e , então:
E está provado que é transitiva concluindo que a relação é de equivalência.
Passo 4
Passo 5
Ele representa as elipses centradas na origem.
Resposta
Demonstração.