Seja R uma relação reflexiva sobre E com as seguintes propriedades:
- D(R) = E
- ((se aRc e bRc, então aRb)
Mostre que R é uma relação de equivalência.
Passo 1
Fala galera, exercício complementar é dureza, mas vamos tirar de letra, vem comigo.
Para que uma relação seja de equivalência, ela deve ser ao mesmo tempo reflexiva, simétrica e transitiva. Visto isso, vamos provar cada uma das propriedades listadas!
Se a primeira propriedade R é que o domínio de R é o próprio conjunto E, isso implica que existe um , então para todo a relação R é reflexiva.
Passo 2
Dado com , então:
Se subtrairmos de ambos os membros da igualdade, temos:
Vamos subtrair agora de ambos os membros:
Multiplicando ambos os lados por -1:
Isso implica que , e assim está provada a simetria.
Passo 3
E a transitividade está provada pela segunda propriedade, isto é, com e b, então:
E está provado que é transitiva concluindo que a relação é de equivalência.
Resposta
Demonstração.