Seja R uma relação reflexiva sobre E com as seguintes propriedades:

  1. D(R) = E
  2. ( ∀ a ,   b ,   c ∈ E ) (se aRc e bRc, então aRb)

Mostre que R é uma relação de equivalência.

Passo 1

Fala galera, exercício complementar é dureza, mas vamos tirar de letra, vem comigo.

Para que uma relação seja de equivalência, ela deve ser ao mesmo tempo reflexiva, simétrica e transitiva. Visto isso, vamos provar cada uma das propriedades listadas!

Se a primeira propriedade R é que o domínio de R é o próprio conjunto E, isso implica que existe um a ∈ E ,   a R a , então para todo a ∈ A a relação R é reflexiva.

Passo 2

Dado a , b ∈ E com a R b , então:

  a = b

Se subtrairmos a de ambos os membros da igualdade, temos:

a - a = b - a

0 = b - a

Vamos subtrair agora b de ambos os membros:

- b = b - a - b

- b = - a

Multiplicando ambos os lados por -1:

- b = - a               × - 1

b = a

Isso implica que b R a , e assim está provada a simetria.

Passo 3

E a transitividade está provada pela segunda propriedade, isto é, ∀ a ,   b ,   c ∈ E com a R c e b R c , então:

a = c   e   b = c

→ a = b

⇒ a R b

E está provado que é transitiva concluindo que a relação é de equivalência.

Resposta

Demonstração.