Seja R a relação sobre Z assim definida:

x R y   s e ,   e   s o m e n t e   s e   x │ y   e   y │ x

Mostre que R é uma relação de equivalência e descreva o conjunto-quociente Z / R .

Passo 1

Fala galera, exercício complementar é dureza, mas vamos tirar de letra, vem comigo.

Lembrando que como x │ y , ou seja, x é paralelo a y, então x – y = 0, vamos começar.

Para que uma relação seja de equivalência, ela deve ser ao mesmo tempo reflexiva, simétrica e transitiva. Visto isso, vamos provar cada uma das propriedades listadas!

Para todo x ∈ Z , a relação é válida:

  x = y ⇒ x = x

Então a relação é reflexiva.

Passo 2

Dado x , y ∈ Z com x R y , então:

x = y

Se subtrairmos x de ambos os membros da igualdade, temos:

x - x =   y - x

0 =   y - x

Vamos subtrair agora   y de ambos os membros:

- y =   y - x - y

- y = - x

Multiplicando ambos os lados por -1:

- y   = - x               × - 1

  y = x

Isso implica que y R x , e assim está provada a simetria.

Passo 3

E a transitividade é provada tomando x , y , z ∈ E com x R y e y R z , então:

x = y     e     y = z

→ x = z

⇒ x R z

E está provado que é transitiva concluindo que a relação é de equivalência.

O conjunto-quociente Z / R são todas as retas paralelos formadas pelos números inteiros.

Z R = x , y ∈ Z x - y = 0

Resposta

Demonstração.