Seja R a relação sobre assim definida:
Mostre que R é uma relação de equivalência e descreva o conjunto-quociente .
Passo 1
Fala galera, exercício complementar é dureza, mas vamos tirar de letra, vem comigo.
Lembrando que como , ou seja, x é paralelo a y, então x – y = 0, vamos começar.
Para que uma relação seja de equivalência, ela deve ser ao mesmo tempo reflexiva, simétrica e transitiva. Visto isso, vamos provar cada uma das propriedades listadas!
Para todo , a relação é válida:
Então a relação é reflexiva.
Passo 2
Dado com , então:
Se subtrairmos de ambos os membros da igualdade, temos:
Vamos subtrair agora de ambos os membros:
Multiplicando ambos os lados por -1:
Isso implica que , e assim está provada a simetria.
Passo 3
E a transitividade é provada tomando com e y, então:
E está provado que é transitiva concluindo que a relação é de equivalência.
O conjunto-quociente são todas as retas paralelos formadas pelos números inteiros.
Resposta
Demonstração.