Seja R a relação sobre Q definida da seguinte forma:
a) Mostre que R é uma relação de equivalência.
b) Descreva a classe
c) Descreva a classe .
Passo 1
Fala minha galera, bora fazer mais um exercício maravilhoso da matemática discreta!
- Para que uma relação seja de equivalência, ela deve ser ao mesmo tempo reflexiva, simétrica e transitiva. Visto isso, vamos provar cada uma das propriedades listadas!
- Como 100 é um número inteiro, sua classe é a dos números inteiros, ou seja, .
- Para que seja um número inteiro, precisamos que x seja um inteiro somado a 0,5, então vamos escrever:
Para todo , a relação é válida:
Então a relação é reflexiva.
Passo 2
Dado com , então:
isso implica na existência de um :
Multiplicando ambos os lados por -1:
Como , obviamente -k também pertence, por isso yRx e assim está provada a simetria.
Passo 3
E a transitividade é provada tomando com e y, então:
dessa forma existe um k e um k’, pertencentes a tal que:
e podemos reescrever:
Sabe-se que a soma de um inteiro resulta em outro inteiro, então , que implica xRz. E assim, está provado que é transitiva concluindo que a relação é de equivalência.
Passo 4
Passo 5
Bora pro próximo!
Resposta
- Demonstração
- .