Seja R a relação sobre Q definida da seguinte forma:

x R y   s e ,   e   s o m e n t e   s e ,   x   -   y ∈ Z

a) Mostre que R é uma relação de equivalência.

b) Descreva a classe   100 - .

c) Descreva a classe   0,5 - .

Passo 1

Fala minha galera, bora fazer mais um exercício maravilhoso da matemática discreta!

  1. Para que uma relação seja de equivalência, ela deve ser ao mesmo tempo reflexiva, simétrica e transitiva. Visto isso, vamos provar cada uma das propriedades listadas!
  2. Para todo x ∈ Q , a relação é válida:

      x   =   x  

    Então a relação é reflexiva.

    Passo 2

    Dado x , y ∈ Q com x R y , então:

      x - y ∈ Z

    isso implica na existência de um k ∈ Z :

    x - y = k

    Multiplicando ambos os lados por -1:

    x - y = k                     × - 1

    - x + y = - k  

    Como k ∈ Z , obviamente -k também pertence, por isso yRx e assim está provada a simetria.

    Passo 3

    E a transitividade é provada tomando x , y , z ∈ Q com x R y e y R z , então:

    x - y ∈ Z     e   y - z ∈ Z  

    dessa forma existe um k e um k’, pertencentes a Z tal que:

    x - y = k     e   y - z = k '  

    e podemos reescrever:

    x - k ' - z = k

    x - z = k + k '

    Sabe-se que a soma de um inteiro resulta em outro inteiro, então x - z ∈ Z , que implica xRz. E assim, está provado que é transitiva concluindo que a relação é de equivalência.

    Passo 4

  3. Como 100 é um número inteiro, sua classe é a dos números inteiros, ou seja, 100 - = Z .
  4. Passo 5

  5. Para que x - 0,5 seja um número inteiro, precisamos que x seja um inteiro somado a 0,5, então vamos escrever:

0,5 - = { x + 1 2 |   x ∈ Z } ⇒ 2 x + 1 2     |   x ∈ Z      

Bora pro próximo!

Resposta

  1. Demonstração
  2. 100 - = Z .
  3. 0,5 - = { 2 x + 1 2     |   x ∈ Z