Seja a reta s   = {   2 x   - 1 3 = 3 - y = 3 z 2 .

  1. Escreva equações paramétricas da reta s .
  2. Verifique quais dos pontos A , B , C e D pertencem à reta s e localize-os corretamente na reta s . Dados:
  3. A = ( 7 2 , 1 , 4 3 ) , B = ( - 11 2 , 7 , - 8 3 ) , C = ( 8 , - 2 , 8 3 ) e D = ( 19 2 , - 3,4 ) .

  4. Determine em s um ponto cujas coordenadas são todas números inteiros.

Passo 1

  1. Para escrever as equações paramétricas da reta, temos que igualar as equações que temos a algum parâmetro:
  2. 2 x   - 1 3 = 3 - y = 3 z 2 = t

    Agora, resolvermos a equação acima para encontrar x ,   y e z , que já serão as equações paramétricas:

    2 x   - 1 3 = t ⇒ 2 x - 1 = 3 t ⇒ 2 x = 3 t + 1 ⇒ x = 1 2 + 3 t 2

    3 - y = t ⇒ y = 3 - t

    3 z 2 = t ⇒ 3 z = 2 t ⇒ z = 2 t 3

    Ou seja,

    s : x = 1 2 + 3 t 2 , y = 3 - t ,   z = 2 t 3  

    Passo 2

  3. O que vamos fazer aqui é, basicamente, substituir cada ponto nas equações paramétricas de s e encontrar qual valor de t satisfaz a igualdade. Se tivermos o mesmo valor de t para as três equações, então o ponto pertence à reta. Vamos lá, então?
  • Ponto A = ( 7 2 , 1 , 4 3 ) :

7 2 = 1 2 + 3 t 2 ⇒ 3 t 2 = 6 2 = 3 ⇒ t = 2

1 = 3 - t ⇒ t = 3 - 1 = 2

4 3 = 2 t 3 ⇒ t = 2

Todos os valores de t foram iguais, então o ponto A pertence à reta.

  • Ponto B = ( - 11 2 , 7 , - 8 3 ) :

- 11 2 = 1 2 + 3 t 2 ⇒ 3 t 2 = - 12 2 = - 6 ⇒ t = - 4

7 = 3 - t ⇒ t = 3 - 7 = - 4

2 t 3 = - 8 3 ⇒ t = - 4

O ponto B também pertence à reta.

  • Ponto C = ( 8 , - 2 , 8 3 ) :

8 = 1 2 + 3 t 2 ⇒ 3 t 2 = 8 - 1 2 = 15 2 ⇒ t = 5

- 2 = 3 - t ⇒ t = 3 + 2 = 5

8 3 = 2 t 3 ⇒ t = 4

Como encontramos dois valores diferentes de t , então C não pertence à reta.

  • Ponto D = ( 19 2 , - 3,4 ) :

19 2 = 1 2 + 3 t 2 ⇒ 3 t 2 = 18 2 = 9 ⇒ t = 6

- 3 = 3 - t ⇒ t = 3 + 3 = 6

4 = 2 t 3 ⇒ t = 3 ⋅ 4 2 = 6

Obtivemos valores iguais de t . Então D também não pertence à reta.

Resumindo, somente os pontos A ,   B e D pertencem à reta para t = 2 , t = - 4 e t = 6 , respectivamente. Você pode observar esses pontos na figura abaixo:

Passo 2

  • Vamos considerar que esse ponto é ( l , m , n ) onde l , m , n são todos inteiros. Vamos substituir esses valores nas equações paramétricas da reta:
  • x = 1 2 + 3 t 2 = l ⇒ 3 t 2 = l - 1 2 ⇒ t = 2 3 ( l - 1 2 ) = 2 3 l - 1 3

    y = 3 - t = m ⇒ t = 3 - m  

    z = 2 t 3 = n

    Para que n = 2 t 3 seja inteiro, um valor possível de t é t = 3 . Nesse caso, n = 2 . Agora, vamos substituir t = 3 nas outras duas equações:

    l = 1 2 + 3 t 2 = 1 2 + 3 ⋅ 3 2 = 10 2 = 5

    m = 3 - t = 3 - 3 = 0

    Com isso, chegamos no ponto que pertence a reta mas que só tem valores inteiros ( 5,0 , 2 ) .

    Resposta

    1. x = 1 2 + 3 t 2 , y = 3 - t ,   z = 2 t 3
    2. A ,   B e D pertencem a reta, C não pertence.
    3. t = 3 ,   ( 5,0 , 2 )