Seja E = {x ∈ Z | −5 ≤ x ≤ 5} e seja R a relação sobre E definida por

x R y   s e ,   e   s o m e n t e   s e ,   x 2   +   2 x   =   y 2   +   2 y  

a) Mostre que R é uma relação de equivalência.

b) Descreva as classes de equivalência 0 _ ,   - 2 _   e   4 _ .

Passo 1

Fala minha galera, bora fazer mais um exercício maravilhoso da matemática discreta!

  1. Para que uma relação seja de equivalência, ela deve ser ao mesmo tempo reflexiva, simétrica e transitiva. Visto isso, vamos provar cada uma das propriedades listadas!
  2. Para todo x ∈ E , a relação é válida:

      x 2   +   2 x =   x 2   +   2 x  

    Então a relação é reflexiva.

    Passo 2

    Dado x , y ∈ E com x R y , então:

    x 2   +   2 x   =   y 2   +   2 y  

    Se subtrairmos x 2   +   2 x   de ambos os membros da igualdade, temos:

    x 2   +   2 x   - x 2   +   2 x   = y 2   +   2 y - x 2   +   2 x  

    0 = y 2   +   2 y + - x 2 - 2 x  

    Vamos subtrair agora y 2   +   2 y   de ambos os membros:

    - ( y 2   +   2 y ) = y 2   +   2 y + - x 2 - 2 x   - ( y 2   +   2 y )

    - ( y 2   +   2 y )   = - x 2   +   2 x

    Multiplicando ambos os lados por -1:

    - y 2   +   2 y = - x 2   +   2 x               × - 1

    y 2   +   2 y = x 2   +   2 x

    Isso implica que y R x , e assim está provada a simetria.

    Passo 3

    E a transitividade é provada tomando x , y , z ∈ E com x R y e y R z , então:

    x 2   +   2 x   =   y 2   +   2 y     e     y 2   +   2 y = z 2   +   2 z    

    → x 2   +   2 x   = z 2   +   2 z

    ⇒ x R z

    E está provado que é transitiva concluindo que a relação é de equivalência.

    Passo 4

  3. Como provamos que A relação R é de equivalência sobre E, podemos escrever o seguinte:

0 _ - { x ∈ E   |   x R 0 )

Quer dizer, escrevendo em português, 0 _ é conjunto solução da equação, veja:

x 2 + 2 x = 0 2 + 2 0

x 2 + 2 x = 0

x x + 2 = 0

x = 0   o u   x = - 2 → 0 _ = 0 , - 2

Da mesma maneira chegamos em - 2 _   e   4 _ veja:

x 2 + 2 x = - 2 2 + 2 ( - 2 )

x 2 + 2 x = 0

x x + 2 = 0

- 2 _ = 0 , - 2

x 2 + 2 x = ( 4 ) 2 + 2 ( 4 )

x 2 + 2 x = 24

4 _ = { 4 , - 6 }

Resposta

  1. Demonstração
  2. 0 _ = 0 , - 2 ,   - 2 _ = 0 , - 2 , 4 _ = { 4 , - 6 }