Seja E = {x ∈ Z | −5 ≤ x ≤ 5} e seja R a relação sobre E definida por
a) Mostre que R é uma relação de equivalência.
b) Descreva as classes de equivalência .
Passo 1
Fala minha galera, bora fazer mais um exercício maravilhoso da matemática discreta!
- Para que uma relação seja de equivalência, ela deve ser ao mesmo tempo reflexiva, simétrica e transitiva. Visto isso, vamos provar cada uma das propriedades listadas!
- Como provamos que A relação R é de equivalência sobre E, podemos escrever o seguinte:
Para todo , a relação é válida:
Então a relação é reflexiva.
Passo 2
Dado com , então:
Se subtrairmos de ambos os membros da igualdade, temos:
Vamos subtrair agora de ambos os membros:
Multiplicando ambos os lados por -1:
Isso implica que , e assim está provada a simetria.
Passo 3
E a transitividade é provada tomando com e y, então:
E está provado que é transitiva concluindo que a relação é de equivalência.
Passo 4
Quer dizer, escrevendo em português, é conjunto solução da equação, veja:
Da mesma maneira chegamos em veja:
Resposta
- Demonstração
- ,