Seja M um subconjunto não vazio de um anel A e seja C(M) conjunto dos elementos de A que comutam com todos os elementos de M. Mostre que C(M) é um subanel de A

Passo 1

Saudações galera! Tudo bem?

Essa questão é totalmente teórica, pois se trata de uma demonstração.

Tá preparado?

Bora lá então!

Passo 2

Seja M um subconjunto não vazio de um anel A . Então M é um subanel de A se e somente se M for fechado nas operações de soma e multiplicação.

Primeiro, provamos que m é um subgrupo de A. Escolha um elemento arbitrário x de M. Como S é fechado por subtração, x   -   x   =   0   ∈     M   e   0   -   x   =   -   x   ∈   M . Portanto, para todos x , y   ∈   M ,   - x   ,   - y   ∈   M e, portanto x   -   (   -   y )   =   x   +   y também pertence a M . Portanto, M é um subgrupo.

Como A é um anel, as leis distributivas valem em A e, portanto, também em M. A propriedade abeliana também é herdada de A.

M é fechado na multiplicação.

Portanto, M é um subanel.

Acabamos.

Te vejo na próxima questão!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)